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Trouver les pouints fixes (dans Z)
Posté par ano22
Bonjour,
Étant donné z appartenant à C (complexe) privé de i, on pose : f(z) = (i*z(barre)-1)/(z-i)
Résoudre dans C l'équation f(z) = 1+i
Bon ça je l'ai fait et je trouve z=i, donc pas de solution.
Trouver les points fixes de f, c'est à dire les nombres complexes z appartenant à C privé de i, tels que f(z) = z.
Là je ne vois pas ce qu'il faut faire...
Essayons :
(i*z_barre-1)/(z-i) = z
i*z_barre-1 = z(z-i) = z²-iz
z²-i(z+z_barre)+1 = 0
z²-2Re(z)+1 = 0
On pose z = x+iy,
(x+iy)²-2x+1 = 0
x²-y²-2x+1+2ixy = 0
D'où le système qu'on obtient en annulant les parties réelle et imaginaire ;
x²-y²-2x+1 = 0
xy = 0
D'où 2 possibilités :
x=0 => y²= 1 => y = -1 ou y = +1
y=0 => x²-2x+1=0 => (x-1)²=0 => x=1
Finalement, les solutions sont :
(0,-1)=-i , (0,1)=i, (1,0)=1