Bonjour,
"Dans le modèle d'étude du développement d'une population de bactéries, on estime que chaque quart d'heure, le nombre de bactéries double puis diminue de 50.
On suppose que le nombre de bactéries présentes à l'instant t=0 sur un aliment est égal à 100. Les biologistes estiment que l'aliment est impropre à la conso lorsque le nombre de bactéries dépasse 500000. On se propose d'évaluer la durée au bout que laquelle la conso de cet aliment risque de provoquer une intoxication aliment."
a)Pour tout nombre entier naturel n, exprimer u_n+1 en fonction de u_n.
--> u_n+1= 2u_n-50
b) Conjecturer la durée au bout de laquelle l'aliment est impropre à la consommation.
-->u₁₃=409650 et u₁₄=819250 donc
au bout de 3h30, l'aliment est toxique.
c) v est la suite définie sur N par v_n= un-50. Démontrer que v est une suite géométrique
dont on précisera le premier terme et la raison.
--> J'ai fait v_n+1/v_n et j'ai donc trouvé que v est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme v₀=50.
d) Pour tout nombre entier naturel n, exprimer v_n en fonction de n. En déduire l'expression de u_n en fonction de n.
-> v_n=u_n-50 et u_n=50*2ⁿ+50
e) Valider la conjecture émise à la question b).
J'ai résolu l'inéquation 50*2ⁿ+50>500000 où on retrouve bien alors que cette inéquation est vrai lorsque n14. Ainsi l'aliment s'avère inconsommable
à partir de 3h30.
f) Le résultat obtenu précédemment dépend-il du nombre de bactéries présentes à l'instant t=0 sur l'aliment. Expliquer.
--> J'ai mis oui car u est une suite définie par récurrence et le premier terme u₀ correspond au nombre de bactéries à l' instant t=0.
g) Quel devrait être le nombre de bactéries présentes sur l'aliment à l'instant t=0 pour que l'aliment soit toxique avant une durée de 4h.
--> Je ne suis pas certain de ma réponse à la question f et pour la g je ne sais pas du tout comment m'y prendre .
Si on cherche à ce que l'aliment soit toxique avant 4h, je comprends qu'à partir de 3h45 il doit avoir dépassé la barre des 500000 bactéries soit u₁₅>500000. Et de ce fait on cherche à connaître ici quel serait le premier terme de u avec cette condition. Mais honnêtement, je cherche depuis plus heures et je perdu.