Trouver un polynôme

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Trouver un polynôme
Posté par 
Sylvieg   21-06-21 à 20:35
Un défi qui m'a bien plu. Certains l'ont peut-être déjà rencontré.

Il est réapparu récemment dans le site « Images des maths » :

On a un polynôme P(x) inconnu dont on sait seulement que les coefficients sont entiers et positifs.

Pour déterminer ce polynôme, on peut demander deux de ses valeurs, P(a) et P(b).

Comment choisir a et b ?
 Posté par 
Imodre : Trouver un polynôme  21-06-21 à 21:51
Bonjour 

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Déjà avec a=1 on récupère la somme des coefficients .

Imod
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jarod128re : Trouver un polynôme  21-06-21 à 21:56
Bonjour

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en demandant la valeur exacte de P(pi) on doit s'en sortir...
 Posté par 
Sylvieg re : Trouver un polynôme  22-06-21 à 08:08
Bonjour à tous les deux.

@jarod128,

Ma première idée avait été P() et P(e), sans trop savoir la forme à demander.

Je précise donc, pour que la notion de valeur exacte ne pollue pas :

Comment choisir a et b entiers ?

@Imod,

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Oui, P(1) peut être utile.
 Posté par 
jarod128re : Trouver un polynôme  22-06-21 à 08:28
Je me doutais que je n'avais pas la réponse. Je pense avoir trouvé :

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P(1) nous donne la somme des coefficients positifs et donc un majorant du plus grand. En prenant b la première puissance de 10  supérieur à P(1), on aura les coefficients de P qui apparaîtront dans P(b)
 Posté par 
perroquetre : Trouver un polynôme  22-06-21 à 08:31
Bonjour, Sylvieg.

Merci pour le problème.

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On demande la valeur de .

Puis, on demande la valeur de  , avec .

Si on doit donner la valeur de  sans connaître , on demande  la valeur de  et .

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Sylvieg re : Trouver un polynôme  22-06-21 à 09:43
Bravo à tous les deux 

Un tout petit bémol pour la variante de perroquet :
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Je pense que b = P(1) peut ne pas convenir ; par contre b =1+P(1) convient toujours. Et il faut écrire l'image en base b.
 Posté par 
Sylvieg re : Trouver un polynôme  22-06-21 à 09:57
Je précise le bémol qui porte aussi sur le début :
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Pour P(x) = x2,  on a 100  P(1).

Et on redemande P(1) 

La variante ne fonctionne pas dès que P(1) = 1.
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matheuxmatoure : Trouver un polynôme  25-06-21 à 23:37
Bonjour et merci à Sylvieg pour ce petit problème sympathique...

personnellement j'ai considéré qu'il fallait proposer a et b simultanément...

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je propose a=1 et b=10n avec n=E(log(P(1))+1

en supposant bien sûr que P n'est pas le polynôme nul... 

P(1) étant la somme des coefficients, ils sont tous inférieurs à P(1)

et le résultat de P(b) donnera les coefficients en coupant la valeur trouvée par tranche de n chiffres

sauf erreur 
  Posté par 
Sylvieg re : Trouver un polynôme  26-06-21 à 16:58
Bravo matheuxmatou 

On peut choisir une valeur de b plus simple :
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1+P(1).

En fait n'importe quel  c+P(1) où c est un entier naturel non nul.
Mais il faut alors travailler un peu sur le résultat Cliquez pour afficher
En l'écrivant en base b.