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trouver une conjecture..

Posté par jean-paul (invité) 25-08-04 à 19:21

soit a1= 1/(1*2)  a2= 1/(1*2) + 1/(2*3) a3 = 1/(1*2) + 1/(2*3)+ 1/(3*4)

Je sais que la réponse est n/(n+1), mais comment le prouver?

Posté par Ghostux (invité)re : trouver une conjecture.. 25-08-04 à 19:34

Quoi , qu'est-ce qui est n/(n+1) ?  Il faut prouver quoi ?

Gho'

Posté par (invité)re : trouver une conjecture.. 25-08-04 à 20:44

que a (indice)n = n/(n+1) est la conjecture de la donnée

Posté par Ghostux (invité)re : trouver une conjecture.. 25-08-04 à 22:02

J'ai essayé avec une somme, mais il vaut mieux le faire par recurrence.
<b>a(n ) = 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(n(n+1))</b>
<b>a(n+1) = 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/(n(n+1)) + 1/((n+1)(n+2))</b>
T'as conjecturé ... que a(n) = n/(n+1)
Ca marche au premier rang, en effet,  a(1) = 1/2
Donc pour un rang donné, a(n) = n/(n+1)
Est-ce que c'est vrai au rang suivant ? (hérérité), donc est-ce que a(n+1) = (n+1)/(n+2) ?
a(n) = n/(n+1)  (hypothèse de récurrence, que j'appelle P<sub>n</sub>)
a(n+1) = n/(n+1) + 1/((n+1)(n+2))
a(n+1) = (n(n+2)+1)/((n+1)(n+2)) = (n<sup>2</sup>+2n+1)/((n+1)(n+2)), en factorisant le numerateur, tu as :
a(n+1) = (n+1)<sup>2</sup>/((n+1)(n+2)) = (n+1)/(n+2)
Donc puisque P<sub>n</sub> marche au rang initial, et que P<sub>n</sub> se transmet de proche en proche, (cad P<sub>n</sub> vrai, => P<sub>n+1</sub> aussi) alors P<sub>n</sub> est valable pour tout n de N*.
(C'est ce qui est demandé en terminale).
Donc pour tout n de N*, a(n) = n/(n+1)

Sinon tu peux voir a(n) comme la somme de la suite :
1/(n(n+1)) , de 1 à n...
a(n) = somme de 1 à n de 1/(n(n+1))
1/(n(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)
somme de 1 à n de 1/(n(n+1)) = somme de 1 à n de 1/n - 1/(n+1)
= 1/1 -1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - ...-1/n +1/n - 1/(n+1)
Ca te fait
1-1/(n+1)
Or 1 - 1/(n+1) = n/(n+1)

Ca va ?

Ghostux


Posté par jean-paul (invité)re : trouver une conjecture.. 26-08-04 à 18:37

J'ai oublié de dire merci!!!
Je patinais car j'avais cherché avec:

a(n) = 1/(n+1) + 1/(n+1)(n+2))....au lieu de n/(n+1) + 1/(n+1)(n+2))
Merci encore

Posté par Ghostux (invité)re : trouver une conjecture.. 26-08-04 à 18:41

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Ghostux



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