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Trouver une forme de Jordan (MATRICE)
Bonsoir à tous ,
soit H=( 2 -1 0 )
1 0 -1
5 -3 -1
la matrice dans la base canonique(e1,e2,e3) d'un endomorphisme h de 
^3
trouver une base (E1,E2,E3) dans laquelle J de h est sous la forme réduite de Jordan. donner sa forme de Jordan
réponse :
j'ai calculer le polynome caractéristique je trouve, Ph(X)= -(X+1)(X-1)2
on a donc deux valeurs propres qui sont :
-1 de multiplicité algébrique 1 et 1 de multiplicité algébrique 2
recherchons ensuite les sous espaces propres associé à -1
ona donc :
H+id= ( 3 -1 0) donc pour tout (x,y,z)
Ker(h+id) on a x=y=0 donc (x,y,z)=z(0,0,1) donc le vecteur (0,0,1) est une base de ker(h+id) c'est donc un vecteur
1 1 0
5 -3 0
propre pour la valeur propre -1
recherchons ensuite les sous espaces propres associé à 1
H-id = je ne vais pas écrire tout mon raisonnement ... on trouve comme vecteur propre (1,1,1) pour la valeur propre 1 la dimension de ker( H-id) = 1 donc inférieur à la dimension 2 donc H n'est pas diagonalisable on calcule donc (H-id)^2
on trouve donc (1,2,0),(1,0,2) qui est une base du sous espace caractéristique .comme (1,2,0) 
Ker(H+Id) on peut donc construire une file de Jordan
( 1 -1 0 ) (1) = (-1)
1 -1 0 2 -1
5 -3 -2 0 -1
donc (-1,-1,-1) ; (1,2,0) est une file de Jordan de longueur 2 associé à la valeur propre 1 prenons comme nouvelle base (E1,E2,E3)= (-1,-1,-1) ; (1,2,0) (0,0,1)
on a donc P = (-1 1 0)
-1 2 0
-1 0 1
comme J = P-1HP en calculant l'inverse de la matrice P on trouvera J donc la forme de Jordan....
Mais sans effectuer le passage de l'inverse comment déterminer J sans la formule explicite de J????
je bloque tout le temps sur ça j'aimerai des conseils pour trouver cette forme réduite sans la formule explicite
merci pour votre aide
…
Bonjour,
Tout ce que tu as écrit est correcte.
Tu as bien déterminé une base (u,v,w) de trigonalisation adaptée à la forme de Jordan.
Maintenant je ne comprends pas ce qui t'empêche de conclure : la matrice de Jordan est précisément la matrice de l'endomorphisme h dans la base (u,v,w) !
Il suffit donc de voir (même pas de calcul!) ce que valent h(u)= ? h(v)= ? h(w)= ? pour l'avoir.
j'ai encore écrit une bourde
cette fois ci je pense que c'est bon ??
hu=u hv=u+v hw= -w mais que faire avec cela ??
Je ne souhaite pas d'ennuyer avec de la théorie lourde qui ne te servirait pas ici. Cependant, tu trouveras un bel exposé ici, avec exemple : [url]http://www.math.univ-paris13.fr/~schwartz/L2/jordan.pdf
[/url]
A +
Je ne souhaite pas d'ennuyer avec de la théorie lourde qui ne te servirait pas ici. Cependant, tu trouveras un bel exposé ici, avec exemple : 
A +
A propos de matrice de Jordan, tu sembles bien avoir compris le principe, le soucis vient du fait que tu ne sais pas/plus écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée.
Alors oui :
h(u)=u (c'est un vecteur propre associé à 1 par définition)
h(v)=u+v (par définition de v)
h(w)=-w (par définition du vecteur propre w associé à -1).
Une fois que tu connais ça, tu connais la matrice de h dans la base (u,v,w) : les colonnes de cette matrice sont les coordonnées de h(u),h(v),h(w) dans la base (u,v,w) !
pour Dhilbert : merci pour le liens du poly mais j'avais déjà donné un coup d'oeil sur celui ci …
pour Narhm: Effectivement je crois avoir un petit problème sur le fait d'écrire la matrice d'un endomorphisme dans une base donnée. (je ne m'en suis plus souvenu )
donc si j'ai bien compris la matrice h dans la nouvelle base canonique (u,v,w) et:
h=(-1 0 0 ) ??
-1 1 0
-1 -1 -1
mais ce n'est pas vraisemblablement la forme de Jordan souhaité ?
Non attends, il faut quand meme faire les choses correctement si on veut que ca fonctionne.
Quelles sont les coordonnées de h(u) dans la base (u,v,w) ?
Quelles sont les coordonnées de h(v) dans la base (u,v,w) ?
Quelles sont les coordonnées de h(w) dans la base (u,v,w) ?
Non !
Ecrire h(u) dans la base (u,v,w), c'est cherché les coefficients a,b,c tels que h(u)=au+bv+cw.
De même pour les h(v) et h(w).
Or nous avons déjà répondu à cette question, il suffit de bien lire.
Donc les coordonnées de hu, hv et hw sont données par ces coefficients :
h(u)=(1,0,0) dans la base (u,v,w) etc..
on prend donc les coefficient les 1 , -1 et les 0
et on trouve la matrice de jordan
J=(1 1 0 )
0 1 0
0 0 -1
Voilà tout simplement.
Prends garde à ne pas oublier tes cours de première année en route. Bien comprendre la diagonalisation/trigonalisation c'est bien comprendre l'expression d'une matrice dans différentes bases.
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