Bonsoir,

ta définition d'homographie est plus qu'approximative, est-ce réellement celle que tu as dans ton cours ?...

Sinon, tu cherches une homographie qui envoie le cercle unité sur la droite réelle mais tu écris

Mathoumathieu @ 05-03-2023 à 17:37


Je pars du cercle unité :

z = 1, et je prends l'homographie : z   .

J'ai donc :

Pour être plus clair : il n'y a pas de corrélation avec la question et ton "j'ai donc", c'est ça que je voulais souligner. Avec ce que tu as écrit, tu cherches plutôt une homographie qui laisse invariant le cercle unité, aucune chance de l'envoyer sur la droite réelle.

Bonjour,

Pour prendre les choses par le bon bout, il est bon de se rappeler qu'une homographie de la droite projective est entièrement déterminée par l'image de trois points distincts.
Tu prends trois points sur le cercle unité (aussi jolis que possible), trois points sur l'axe réel (aussi jolis que possible) et tu envoies les premiers sur les seconds.

Merci pour vos réponses.

La définition de l'homographie que j'ai dans mon cours est la suivante : Une homographie est une transformation de la droite projective induite par une transformation linéaire du plan. En coordonnées affines, une homographie s'écrit comme X .

Si vous en avez une meilleure je suis preneur.

Non, ça ne va pas : tu dois travailler avec l'affixe complexe  : pas mais , pas mais , pas mais !
Et sur l'axe réel, le plus commode c'est de prendre , crois-en mon expérience.
Reste plus qu'à trouver les de pour que , ,  .

Merci pour votre réponse.

Si je veux que 1 0 il me faut : a + b = 0 donc a = -b ;
Si je veux que -1 il me faut -c + d = 0 donc c = d ;
Si je veux que i 1 il me faut : ai + b = ci + d, or c = d et a = -b donc on a : -bi + b = di + d b(1-i) = d(1+i) b= di.

Donc finalement je trouve une solution qui dépend de d, je trouve le vecteur (-di, di, d, d) = d(-i, i, 1, 1).

Je sais pas si c'est ce qu'il fallait faire...

Les d'une homographie ne sont définis qu'à un facteur près.
Et tu peux vérifier si ce que tu trouves est correct :
Est-ce que les 3 points sur le cercle unité s'envoient bien sur les trois points sur l'axe réel ? Est-ce que le cercle unité s'envoie sur l'axe réel ?

Ok, si j'ai bien compris : en prenant a = -i,  b = i, c = 1 et d = 1, oui les trois points sur le cercle unité s'envoient sur les trois points sur l'axe réel, donc conclusion : oui le cercle unité s'envoie sur l'axe réel.

La réponse finale est donc un exemple d'une homographie de la droite projective complexe qui envoie le cercle unité sur la droite réelle, est l'homographie associé (je sais pas si c'est le terme adéquat) à a = -i, b = i, c = 1 et d = 1.

J'ai une question : vous m'avez conseillé de toujours prendre 0, 1 et sur l'axe réel, mais peut-on choisir d'envoyer n'importe lequel des 3 points sur le cercle unité vers n'importe lequel des 3 points sur l'axe réel ? C'est-à-dire si j'avais décidé d'envoyé 1 , -1 1 et i 0 par exemple, est-ce que ca serait toujours juste ?

C'est plus sympa d'écrire l'homographie sous la forme  

On voit bien comme ça que s'envoie sur , sur et le est la pour envoyer sur .

As-tu bien vu dans ton cpours qu'une homographie de la droite projective est entièrement déterminée par les images de trois points ? C'est quelque chose de fondamental, qui intervient d'ailleurs dans le fonctionnement du birapport.

Revenons à ton exercice. On a effectivement toute latitude pour choisir les images sur l'axe réel des trois points fixés sur le cercle unité. On a trois degrés de liberté, l'ensemble des homographies qui envoie le cercle unité sur l'axe réel est une variété de dimension (réelle) 3. Fixer les images sélectionne un unique élément de ce grand ensemble, c'est plus commode pour donner UN exemple.

Avec plaisir.