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TS binome de Newton

Posté par yonyon (invité) 07-05-05 à 16:02

Bonjour, j'ai un problème avec l'exercice suivant :
1) Ecrire le developpement de f(x)=x(1+x)^n
je trouve somme de p=0 à n des "p parmi n" x^(p+1)

2) Calculer la dérivée de f de façons différentes
f'(x)=nx(1+x)^(n-1)+(1+x)^n
et f'(x)= somme de p=0 à n des "p parmi n" p+1*x^(p+1)

3) En déduire la somme de p=0 à n des "p parmi n "(k+1)
Je ne vois pas comment m'y prendre dans cette dernière question puisqu'on a des termes de rang p quand on écrit avec le binôme de newtion alors que sinon on a des termes de rang n.
Comment faire?

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
H_aldnoerre : TS binome de Newton 07-05-05 à 17:02

slt yonyon !


1)
3$\begin{tabular}f(x)&=&x(1+x)^n\\&=&x\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^k\\&=&\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k+1}\end{tabular}

2)
3$\rm f(x)=x(1+x)^n soit f'(x)=1.(1+x)^n+x.n.(1+x)^{n-1}.1=(1+x)^n+x.n.(1+x)^n.(1+x)^{-1}=(1+x)^n(1+x.n.(1+x)^{-1})

3)
3$\begin{tabular}f(x)&=&x(1+x)^n\\&=&x(1+nx+\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}x^2+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^k+...+x^n)\\&=&x+nx^2+\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}x^3+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}x^{k+1}+...+x^{n+1}\end{tabular}

3$\rm d'ou

3$\begin{tabular}f^'(x)&=&1+2nx+\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}3x^2+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(k+1).x^{k}+...+(n+1).x^{n}\\&=&\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(k+1).x^{k}\end{tabular}

3$\rm et donc :

3$\begin{tabular}\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(k+1)&=&1+2n\frac{x}{x}+\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}3\frac{x^2}{x^2}+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(k+1).\frac{x^{k}}{x^{k}}+...+(n+1).\frac{x^{n}}{x^{n}}\\&=&1+2n+\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}3+...+\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}(k+1)+...+(n+1)\end{tabular}


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