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[Ts] devoir pouvez vous m aidez !!
Bonjour
J'aurais vraiment besoin d'un aide pour un exercice.
J'ai commencé les 2 premières questions mais après je suis bloqué pouvez vous m'aidez ?
Merci
Voila :
I) Première partie: Étude d'une fonction f .
On appelle f la fonction définie sur l'intervalle
I = ] - 1/2; + ∞ [ par f(x) = ln (1 + 2x ).
1) Montrer que f est strictement croissante sur l'intervalle I.
2) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers - 1/2
3) On considère la fonction g définie sur l'intervalle I par
g(x) = f(x) - x.
a. Étudier les variations de g sur l'intervalle I.
b. montrer que l'équation g(x) = 0 admet deux solutions: 0 et une autre, notée $, appartenant à l'intervalle [ 1; 2 ].
c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l'intervalle I.
4) montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle ] 0; $[,
f(x) appartient aussi à ] 0;$ [.
c'est a partir de la question 3a) et je voudrai surtout des explications pour la 3b.
Merci
A bientot
3)a)
g'(x)=f'(x)-1=2/(1+2x)-1=(1-2x)/(1+2x)
donc g' est du signe de 1-2x...
3)b) 0 est solution de g(x)=x, en effet g(0)=f(0)-0=0
Pour déterminer l'existence de l'autre solution, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle [1;2].
A toi de jouer...
Bonjour Emmanuelle7
As-tu trouvé celà au 3.A
quelle est ta dérivée g'(x) ?
Philoux
![[Ts] devoir pouvez vous m aidez !!](img/forum_img/0037/forum_37510_1.gif)
est ce que pour la 3b il faut utiliser le theoreme de la bijection ?
Car si c'est ca je ne comprends pas car la suite est a la fois croissante pui decroissante
??
oui philoux , victor m'a aider mais je l'avais quand méme trouvez
c'est pour la 3b que j'aurais besoin d'aide
Oui,
tu as le maximum où g(xmax)>0
tu prends une branche de g monotone
tu as aussi g(1)>0
puis g(2)<0
g est continue et décroissante => il existe a tq g(a)=0 , 1< a <2
Philoux
j'ai un problème car quand j'etudie le signe de g jtrouve quelle est decroissante puis croissante mais a ce que je vois ce n'est pas le cas ?
ah non c'est bon c moi qui c'est trompé ; donc elle est croissante sur (-1/2 ; 1/2 )et decroissante sur (1/2 , + inf) et comme sur (1 ; 2) cest continue et decroissant on applique le theorème de la bijection.
non pas tout car quand on applique la bijection , c'est une bijection de [1 ; 2] sur [ (ln 3+1) ; (ln 5 +1)] mais pourquoi ca admet 2 solutions ?
ou alors c'est que sur la partie croissante 0 est solution de l'equation g(x) = 0 et sur la partie decroissante $ est la solutiuon de la bijection ?
ok desolé j'avais zaper.
pour le signe de g sur I , elle est croissante sur ] -1/2 ; 0[ et sur ]0 ; 1/2[ puis decroissante sur ]1/2 ; $ [ et ]$ ; + inf[ , c'est ca qu'il faut dire ?
POUR La 4 :
f(0) = 0 et f(2) = ln 5 < 2 donc f(x) appartient a ]0 ; $[ sur ] 0 ; $[ c'est ca non ?
Mon exercice né pas fi i si j'ai besoin d'aide je peux vous demandez ?
Merci
Pour le signe de g, il faut dire que g étant croissante sur ]-1/2;1/2[ et s'annulant en 0, g(x) < 0 si x appartient à ]-1/2;0[ et g(x)>0 si x appartient à ]0;1/2[.
g est décroissante sur ]1/2;+oo[ et s'annule en $ donc g(x)>0 si x appartient à ]1/2;$[ et g(x)<0 si x>$.
Au final :
g(x)>0 ssi x appartient à ]0;$[
g(x)<0 ssi x appartient à ]-1/2;0[ U ]$;+oo[
g(0)=g($)=0
Pour l'aide, il n'y a pas de pb.
POUR La 4 :*
f est strictement croissante sur ]0;$[ d'après la question I1)
f(0) = 0 et f($) = $ car g($)=0 donc f(x) appartient a ]0 ; $[ sur ] 0 ; $[
En fait dans ta réponse, tu avais démontré : "si x appartient à ]0;2[ alors f(x) appartient à ]0;2[", ce qui n'est pas tout à fait ce que l'on te demandait.
Voici la fin de mon exercice , je sais il est très long , désolé je vais encore vous embéter ,car malheuresement je ne vais pas savoir tout faire.
J'ai essaié de faire la première question , je vous envoie ce que je trouve dans le prochain message
en attendant voici le reste de l'énoncé.
II) Seconde partie: Étude d'une suite récurrente.
On appelle (un)n ≥ 0 la suite définie par un+1 = f(un) et u0 = 1.1)Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ] 0;$ [.
2) Démontrer par récurrence que la suite (un)n ≥ 0 est croissante.
3) montrer que la suite (un)n ≥ 0 est convergente.
III) Troisième partie: Recherche de la limite de la suite [un][/n≥ 0]
1) Montrer que pour tout réel x>1, f'(x) ≤2/3
2) Recherche de la limite de la suite
a. Démontrer que pour tout entier naturel n, \int_Un^{$} f(t) dt < 2/3($ - Un)
b. En déduire que pour tout entier naturel n, $- u_(n+1)< 2/3($-Un)
puis à l'aide d'un raisonnement par récurrence que
0 < $ - Un < (2/3)^n
c. Quelle est la limite de la suite [un][/n ≥ 0] ?
Un appartient à ] 0 , $[ ??
1. c'est vrai pour U0 car UO =1 et 1 appartient à ]0 ; $[
2. supposons que c'"est vrai pour Un+1 d'ou f(Un) apartient à ]0,$[
3. démontrons le pour Un
dans la partir prècedente nous avons vu que f(x) aârtient à ]0;$[ alors f(x) apârtient à ]0 ; $[ , donc si on l'appliquie a Un vu que f(Un) apartient à ]0;$[ on peut dire que Un apartient à ]o;$[
Est ce correct ?
salut
pour la 1)
soit P(n) la propriete " u(n) est dans ]0,$["
pour n=0 c'est vrai car u(0)=1 et $ > 1
soit n >= 0 tel que P(n) vraie.
montrons que P(n+1) est vraie.
P(n) vraie donc u(n) est dans ]0,$[.
d'apres premiere partie 4) f(u(n)) est dans ]0,$[ et f(u(n))=u(n+1)
donc u(n+1) est dans ]0,$[.
donc P(n+1) vraie.
donc pour tout n dans N u(n) dans ]0,$[.
2) faut suivre les indications : raisonnement par recurrence.
osoit P(n) la propriete "u(n+1) >= u(n)"
pour n=0 , on calcule u(1) et u(0)
...
soit n >= 0 tel que P(n) vraie c'est a dire u(n+1) >= u(n)
on compare u(n+2) et u(n+1)
comme u(n+1) >= u(n) deux elements de l'intervalle ]0,$[ et que f est croissante sur ]0,$[ on a :
f(u(n+1)) >= f((u(n))
donc u(n+2)>= u(n+1)
donc P(n+1) vraie
donc si P(n) vraie alors P(n+1) vraie.
comme P(0) vraie et si P(n) vraie alors P(n+1) vraie on a donc pour tout n P(n) vraie.
donc pour tout n u(n+1) >= u(n)
donc u est croissante.
3) u est croissante et majoree par $ donc elle converge.
troisieme partie
1) x >= 1
donc 1+2x >= 3
donc 1/(1+2x) =< 1/3
donc 2/(1+2x) =< 2/3
or f'(x)=2/(1+2x)
d'ou pour tout x >= 1 f'(x) =< 2/3
pour le 2a, tu es sur que c'est f qu'on integre et pas f'.
car sinon f'(x) =< 2/3 pour x >= 1
or u(0)=1 et pour tout n>=0 u(n) >= u(0) = 1
donc pour tout n >= 0 u(n) est dans [1,$[
donc pour tout n>= 0 , pour tout x dans ]u(n),$[ f'(x) =< 2/3
par passage aux integrales : integrale(u(n) a $) f'(x).dx =< integrale(u(n) a $)2/3.dx = 2/3*($-u(n))
donc integrale(u(n) a $) f'(x).dx =< 2*($-u(n))/3
b) or integrale(u(n) a $) f'(x).dx =f($) - f(u(n)) = $ - u(n+1) car g($)=0=f($)-$
donc $-u(n+1) =< 2*($-u(n))/3
pour le raisonement par recurrence on fera comme les autres.
le passage de P(n) a P(n+1) se faisant par $-u(n+1) =< 2*($-u(n))/3
je te laisse faire cette partie de la question.
on arrive a :
0 < $ - Un < (2/3)^n
lim (2/3)^n = 0
n->+oo
car ((2/3)^n) est une suite geometrique de raison 2/3 ( < 1 )
donc par le thoereme des gendarmes : lim ($-u(n))=0
n->+oo
OR la suite u converge (et ceci est important pour la conclusion) DONC lim u(n) = $
n->+oo
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