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TS exercice sur le théorème de l inégalité et les suites
Bonjour.
Je suis coincée sur cet exo sur les suites et le théorème de l'inégalité.
J'aimerai qu'on m'explique au moins la première question.
Voici l'énoncé:
Pour tout entier naturel n, on pose:
I (indice n)=intégrale de 0 à (pi/4) de x^nsin(2x) dx.
Prouvez que o<In<(pi/4)^n+1
Quelle est la limite de la suite In?
Merci d'avance
Hello !!
Comme x 
[0 ; 
/4]
alors 0 <= sin 2x <= 1 et xn > 0
donc 
xnsin2x dx > 0
De plus, comme 0 
sin 2x 1 :
xnsin2x xn
Donc
xnsin2x dx xn
dx
Calculons donc xn dx
xn dx = [x n+1/(n+1)]
(entre 0 et /4)
xn dx = 1/(n+1)*(/4)n+1
On a donc
xnsin2x dx 1/(n+1)*(/4)n+1
Comme n > 0 alors 1/(n+1)<1 donc finalement
xnsin2x dx (/4)n+1
Conclusion:
0 xnsin2x dx
(/4)n+1
Soit
0 In (/4)n+1
Quand n tend vers l'infini, (/4)n+1 tend
vers zéro car /4 <1
A la limite on a alors:
0 In 0
...donc quand n tend vers l'infini, In tend vers
zéro.
@+
Zouz
Bonjour Manon,
Pour démontrer l'inégalité,
"Prouvez que o<In<(pi/4)^n+1"
On a :
0 /4 xn sin(2x)dx
ce qui implique que
0<x</4 (propriété de l'intégrale)
dés lors on peut successivement écrire:
0<xn<(/4)n
0<sin(2x)<1
soit
0<xnsin(2x)<(/4)n
d'où utilisation de ce que j'ai compris être ce que tu appelles le
théorème de l'inégalité (?)
Pour rappel
si a<b et si 
x de [a,b]
pour tt (m,M) de R
m<f(x)<M
alors
m(b-a)<ab f(x)dx<M(b-a)
On applique donc le théorême avec
a=0 et b=/4
Pour rappel on a :
0<x</4
et
0<xnsin(2x)<(/4)n
donc
0(/4 - 0) < In<(/4)n*(/4-0)
soit
0<In<(/4)n+1
"Quelle est la limite de la suite In? "
Pour n --> +oo (/4)n+1-->0 (c'est immédiat
donc selon théorème des gendarmes ou théorème d'encadrement
In -->0 pour n-->+oo
Voilà
Dis moi si pb
à bientôt
Guille64
Ah oops, et oui, voilà ce qui arrive qd on passe une petite heure
au tel en plein milieu d'un exo...
Mais bon comme on dit deux explications valent mieux qu'une! 
à plus
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