Bonjour adelinet,

1] demontrer que pour tt x V(1+x²) -x >0 et V(1+x²) +x> 0
1+x²>x² => V(1+x²)>V(x²)
De plus
V(x²) = |x| (valeur absolu de x)
donc
V(1+x²)>|x|
ce qui implique
V(1+x²)> x
et
V(1+x²)> -x
Soit
V(1+x²)- x > 0
et
V(1+x²)+ x > 0
CQFD

2] deduisez-en que la fonction u(x) est strictement croissante sur R
u(x) = 2x- V(1+x²)

Etude de la fonction u(x)
1) domaine de définition
u dérivable sur R
Du = R
2) Dérivée
u'(x) = 2 - 2x/2V(1+x²)  (pour rappel (Vg)' = g'/2Vg)
u'(x) = 2 - x/V(1+x²)

Or on vient de montrer que
V(1+x²)+ x > 0
donc
x/V(1+x²)<1 <=> -x/V(1+x²)>1
            <=> 2 - x/V(1+x²)> 1
            <=> 2 - x/V(1+x²)> 0
            <=> u'(x)> 0

3) variation de u
u'(x)> 0 pour tout x de R donc u croissante

3] resoudre u(x) = 0
alors la j'ai trouvé pour x= 1/(V3)
D'accord avec toi :
u(x)=0 pour x=1/(V3)
or
u strictement croissante sur R
Donc
pour x < 1/(V3) alors u(x)<0
et
pour x > 1/(V3) alors u(x)>0

4] étudiez les limites de f en +oo et -oo
f(x)= 2V(1+x²) -x
f(x)= 2|x|V(1 + 1/x²) - x  (en bref, je factorise par x² sous la racine puis je sors x² de la racine sachant que Vx² = |x|

Partant deux cas :
1- Pour x > 0
|x|=x soit
f(x) = 2xV(1 + 1/x²) - x
soit
f(x) = x(2V(1 + 1/x²) - 1)
Donc
lim f pour x-->+oo = +oo

2- Pour x < 0
|x|=-x soit
f(x) = -2xV(1 + 1/x²) - x
soit
f(x) = -x(2V(1 + 1/x²) + 1)
Donc
lim f pour x-->-oo = +oo

exprimer f'(x) en fonction de u(x)
Pour rappel à nouveau : (Vg)'= g'/2Vg

f'(x) = 2 (2x/2V(1+x²)) - 1
f'(x) = 2x/V(1+x²) - 1

or u(x) = 2x - V(1+x²) <=> =2x
d'où
f'(x) = [u(x)+V(1+x²)]/V(1+x²) - 1
f'(x) = [u(x)/V(1+x²)] + 1 - 1
f'(x) = u(x)/V(1+x²)
"CQFD"

Suite tout de suite pour pas perdre de données

re...
5] montrer que la droite (D) d'equation y= x et  y=-3x sont asymptotes de la courbe C
puis etudier la position de C par rapport aux asymptotes

Tu as eu le bon réflexe! il faut chercher lim de f(x)-y

a)montrer que la droite (D1) d'equation y= x est asymptote à C
Il faut étudier limite de f(x)-y en +oo

Il ya peut-être plus simple, mais je me suis senti ici obligé d'utiliser une méthode "un peu plus élaborée..." Il s'agit de trouver deux fonctions (-1/x et 2/x) encadrant f(x)-y ET ayant chacune lim en +oo =0. Ensuite nous pourrons utiliser le théorème des gendarmes.[/i]

2 Etapes :
a-1) Etudions le signe de f(x)-y + 1/x sur R+
f(x)-y + 1/x = [2V(1+x²)-x] - x + 1/x
f(x)-y + 1/x = 2V(1+x²)-2x + 1/x
f(x)-y + 1/x = 2[V(1+x²)-x] + 1/x

Or on a vu en 1] que V(1+x²)-x >0
De plus 1/x>0 sur R+

Donc 2[V(1+x²)-x] + 1/x >0
C'est-à-dire
f(x)-y + 1/x >0
f(x)-y > -1/x

NOUS AVONS ICI LA BORNE INFERIEURE

a-2) Etudions le signe de f(x)-y - 2/x sur R+
f(x)-y - 2/x = 2[V(1+x²)-x] - 2/x
f(x)-y - 2/x = 2[V(1+x²) -x - 1/x]

Quel est le signe de V(1+x²) -x - 1/x sur R+?
L'inéquation suivante est-elle vérifiée :
V(1+x²) < x + 1/x ??
xV(1+x²) < x² + 1  ?? (j'ai multiplié chaque membre par x)
x(1+x²) < (x²+1) V(1+x²)  ?? (j'ai multiplié chaque membre par V(1+x²)
Puis je divise chaque membre par (1+x²) et on a
x < V(1+x²) ???
V(1+x²) - x >0  ???
OUI cette égalité est bien vérifiée, On l'a démontrée
en 1]

Donc on a bien :
V(1+x²) < x + 1/x  
soit
V(1+x²) - x - 1/x < 0

D'où
2[V(1+x²) - x - 1/x] < 0
f(x)-y - 2/x < 0

Autrement dit :
f(x)-y < 2/x sur R+

... PUIS ICI LA BORNE SUPERIEURE

CONCLUSION :
sur R+ nous avons montré :

-1/x < f(x)-y < 2/x

Partant de là
lim -1/x < lim f(x)-y < lim 2/x pour x-->+oo

soit pour x-->+oo
0< lim f(x)-y <0

selon le théorème des gendarmes on peut conclure :
lim f(x)-y = 0 pour x-->+oo
CQFD

Donc la droite y=x est asymptote à la courbe C

POSITION DE D1: y=x par rapport à C????
Il faut étudier le signe de f(x)-y

f(x)-y = 2V(1+x²) - 2x
En bref, on l'a vu en 1] 2V(1+x²) - 2x >0
donc
f(x)-y>0   ainsi C est AU-DESSUS de l'asymptote D1






b)montrer que la droite (D2) d'equation y= -3x est asymptote à C

Même chose
Il faut étudier limite de f(x)-y en -oo

Il s'agit de trouver deux fonctions (1/x et -2/x ) encadrant f(x)-y ET ayant chacune lim en -oo =0. Ensuite nous pourrons utiliser le théorème des gendarmes.[/i]

ATTENTION DANS TOUS LES RAISONNEMENTS QUI SUIVENT, NOUS SOMMES SUR R-  
ainsi pour exemple sur R-, 1/x < -2/x

2 Etapes :
b-1) Etudions le signe de f(x)-y - 1/x sur R-
f(x)-y - 2/x = 2[V(1+x²)-x] - 1/x

Or on a vu en 1] que V(1+x²)+ x >0 sur R
De plus -1/x>0 sur R-

Donc 2[V(1+x²)-x] - 1/x >0
C'est-à-dire
f(x)-y - 1/x >0
f(x)-y > 1/x sur R-

NOUS AVONS ICI LA BORNE INFERIEURE

b-2) Etudions le signe de f(x)-y + 2/x sur R-
f(x)-y + 1/x = [2V(1+x²)-x] - (-3x) + 2/x
f(x)-y + 1/x = 2V(1+x²)+ 2x + 2/x
f(x)-y + 1/x = 2[V(1+x²)+x + 1/x]

Quel est le signe de V(1+x²) + x + 1/x sur R-?
L'inéquation suivante est-elle vérifiée :
V(1+x²) < - x - 1/x) ??
xV(1+x²) > - x² - 1  ?? (j'ai multiplié chaque membre par x... vu que ici x<0 le sens de l'inéqution change!)
x(1+x²) > - (x²+1) V(1+x²)  ?? (j'ai multiplié chaque membre par V(1+x²).. le sens de l'inéquation ne change pas car V(1+x²)>0 )
Puis je divise chaque membre par (1+x²) et on a
x > -V(1+x²) ???
V(1+x²) + x >0  ???
OUI cette égalité est bien vérifiée, On l'a démontrée
en 1] pour R

Donc on a bien :
V(1+x²) < -x - 1/x sur R-  
soit
V(1+x²) + x + 1/x < 0

D'où
2[V(1+x²) + x + 1/x] < 0
f(x)-y + 2/x < 0

Autrement dit :
f(x)-y < -2/x sur R-

... PUIS ICI LA BORNE SUPERIEURE


CONCLUSION :
sur R- nous avons montré :

1/x < f(x)-y < -2/x  (NB: pour rappel nous pouvons écrire ceci puisque nous sommes sur R-)

Partant de là
lim 1/x < lim f(x)-y < lim -2/x pour x-->-oo

soit pour x-->-oo
0< lim f(x)-y <0

selon le théorème des gendarmes on peut conclure :
lim f(x)-y = 0 pour x-->-oo
CQFD

Donc la droite (D2) d'equation y= -3x est asymptote de C


POSITION DE D2: y=-3x par rapport à C????
Il faut étudier le signe de f(x)-y

f(x)-y = 2V(1+x²) + 2x
En bref, on l'a vu en 1] 2V(1+x²) + 2x >0
donc
f(x)-y>0   ainsi C est AU-DESSUS de l'asymptote D2



On souffle un peu... pi on passe à la dernière question!!! LAST BUT NOT LEAST!!

6] puis determiner le point de C où la tangente a pour coefficient directeur -2 et determiner sa tangeante

l'equation est du type -2x+b mais le point je ne l'ai aps encore trouvé je cherche!
OUI bon réflexe aussi a priori

Nous savons donc que l'équation de la tangente T1 est de la forme : y=-2x+b
Nommons A(xA,yA) le point de C recherché
Toutefois, ici on ne peut pas se lancer dans un système de deux équations pour résoudre le pb car il y a 3 inconnus : y,x et b
Il faut donc trouver une autre solution

Pour rappel : la définition basique de la tangente est :
Si P[x0, f(x0)] est un point de la courbe y = f(x) dérivable en x0, la tangente à la courbe en P a pour équation :
y - f(x0) = f'(x0)· (x - x0)

On doit donc avoir comme équation de la tangente :
y = f'(xA)· (x - xA) + f(xA)
soit
y = f'(xA)x + (f(xA) - f'(xA)xA )

Donc par comparaison avec T1: y=-2x+b on doit donc avoir :
f'(xA)=-2
or
selon 4] f'(x) = u(x)/V(1+x²)

On peut donc trouver xA...
Je te laisse les calculs : on trouve xA = -1/V3

Ensuite on déroule :
selon notre formule... et par comparaison :

b= (f(xA) - f'(xA)xA )
b= f(-1/V3)- (-2*(-1/V3))
or f(-1/V3) = 5/V3
donc
b= 5V3 - 2/V3
b= 3/V3
b= V3

Et pi c bientôt THE END : il nous manque yA (enfin en faisant un peu de zèle puisque nous venons de calculer f(xA)=yA...)

yA = -2xA + b
soit
yA = -2*(-1/V3) + V3
yA = 2/V3 + 3/V3
yA = 5/V3 (What a surprise!!)

ET VOILA (sors le champagne!!!!!!)

Donc chère Titine je te présente
T1: y=-2x -V3 (T1 je te présente Titine) qui est notre tangente à C en A(-1/V3;5/V3)


Voilà, je crois l'est temps que j'aille déjeuner pi reposer les neuronnes... bizzz
Dire si pb
à bientôt

Guille64

waow, quel roman guille64 !
Vas tu gagner un petit merci de la part de titine avec tout cette aide fournie ?

Lol oui c'est le sujet qui veut ca! Mais je me demande quand même si j'vais pas m'inscrire au Goncourt...

Tant qu'à y être si tu repasses dans le coin (), si ca te branche, est-ce que par curiosité tu ne voudrais pas te pencher sur la question 5 qui est (au moins au départ) un tout simple calcul d'asymptote avec des fonctions vraiment pas méchantes...

J'ai proposé une solution qui n'est pas en soit "einsteinnienne" mais qui demandait, je trouve, une certaine intuition pour un devoir de TS (ou alors le niveau en TS est maintenant très relevé!!!)... Ou alors Y avait-il donc plus simple ? Aurais-je laissé passé une solution simplissime et flagrante? Dans tous les cas je me suis cassé la tête pour faire simple (et le mot et faible) pi ben... enfin you'll see ... Well si ca te botte, it's your turn...

à +

Guille64

merci bien pour toutes tes explications et pour le mal de doigts que tu as desormais apres la frappe de ce long raisonnement qui va bien m'aider car je coulais au niveau du demarrage et vu que je trouve jamais la meme chose pour le meme calcul je preferais que quelqu'un m'éclaire!
encore merci et je te tiens au courant pour la suite et si plus tard je retrouve des trucs en plus je previens mon nouveau professeur du web!!!
bisous
a+
adeline

J'avoue que je me suis fait un petit plaisir en le faisant : j'ai commencé pi j'ai pas pu décrocher(t'inquiètes pour mes doigts ils ont l'endurance ), Mais suis surtout heureux si j'ai pu te rendre service...
NB : Bon, au lieu d'indications c'est vrai que je t'ai vraiment tout fait de A jusqu'à Z... mais franchement j'aurais eu du mal à faire plus court... Sans en avoir l'air, on navigue constamment entre banalités et astuces mathématiques, trivialité et rigueur du raisonnement et ca demande aussi certaines connaissances bien théoriques (même si tout est effectivement au programme!!!)... Enfin vraiment bel exo, mais surtout exigeant je trouve par moment pour un devoir de début TS (même si...). Enfin dans tous les cas, à ce rythme, je crois bien que vous serez tous des petits Einsteins en fin d'année!!!

Voilà,
Dire si pb
à bientôt

Guille64

Re... et oui c'est le retour!!

Alors pour question 5 il y avait bien en fait nettement plus simple!! Boudu (encore fallait-il y penser...)

il fallait remarquer que :
Pour D1 : y = x
2(V(1+x²)-x) = 2/[V(1+x²)+x]  (démontration simplissime, je te laisse faire...)
Dés lors lim f(x)-y = 2[V(1+x²)-x] en +oo = 0
c'est immédiat et flagrant

Pour D2 : y = -3x
2(V(1+x²)+ x) = 2/[V(1+x²)-x]
Dés lors lim f(x)-y = 2[V(1+x²)+x] en -oo = 0
c'est immédiat et flagrant... et surtout plus court!!!

Merci à l'un des posteurs de m'avoir inspiré cette solution!

à bientôt,

Guille64

je constate que tu es un accroc des maths ou du moins que tu maitrises cette matiere parfaitement!!
tu m'as vraiemnt beaucoup aide mais il me reste un petit probleme pour la derniere question avec la tangente car je comprends pas bien ton raisonnement!!
tu utilise en fait la forme (f(xo)-h)/(0-h)=-2 c'est le taux d'accroissement???
merci d'avance!
bisous
adelinet

rebonjour Adeline,

Tout d'abord j'espère que tu as pu voir mon correctif pour la question 5 juste au-dessus (mon premier raisonnement était bon, mais un peu long... autrement dit rigoureux mais maladroit).

Pour ta question (je suis un peu géné parce que ta formule nous place dans un cadre très général):
(f(xo)-h)/(0-h) c'est "en fait" une sorte de définition de la dérivée d'une fonction f au point O(0,f(xo)) avec f(xo)= f(0)
S'il s'agit d'une fonction affine (de type f(x)=mx+p)la dérivée de f au point O est appelée le coef directeur (ou taux d'accroissement probablement?!)

Alors en essayant de faire court et simple :
La définition que j'ai utilisée est effectivement en rapport avec le calcul du coefficient directeur (taux d'accroissement) d'une droite T de type y=mx+p.
Par exemple :
pour C(xc;yc) et D(xd;yd) appartenant à T :y=mx+p on a :
coef directeur = (yd-yc)/(xd-xc)
Mais on a aussi par définition
y'= coef directeur  

donc y'= (yd-yc)/(xd-xc)

En outre, on sait aussi que le coef directeur d'une tangente T de type y=mx+p en A(xA,yA) à une courbe C1 d'éqution f(x) est égal à f'(xA) (ceci est un résultat important!)

Autrement dit ici notre Tangente T avec C et D deux points de T vérifie :
f'(xA) = y'
soit
f'(xA) = (yd-yc)/(xd-xc)

Maintenant dans l'exo on cherche tous les points M(x,y) de la tangente T : y=mx+p, dont on connaît le coef directeur f'(xA) = -2 et un point A(xA,yA) que l'on recherche (avec A point commun de T et de C).
Selon ce que nous venons de voir la droite (AM) (autrement dit T) doit vérifier
f'(xA) = (y-yA)/(x-xA)
Soit y = f'(xA)*(x-xA)+yA

Enfin on rappelle qu'ici A(xA,yA) est le point commun à T et à la courbe C donc A peut s'écrire A(xA,f(xA)) (soit yA=f(xA))

On a donc  T : y = f'(xA)*(x-xA)+f(xA)

on retrouve donc notre définition de départ que j'ai utilisée :
Si P[x0, f(x0)] est un point de la courbe y = f(x) dérivable en x0, la tangente à la courbe en P a pour équation :
y - f(x0) = f'(x0)· (x - x0)

Voilà, c'est un peu long, j'espère que ca n'a pas rendu les choses plus confuses...
Dans tous les cas, si c'est confus retiens simplement la définition qu'on a utilisé...

Pour finir :
Dans l'exo j'ai noté :
On a le résultat
f'(x) = u(x)/V(1+x²)
donc
f'(xA) = u(xA)/V(1+xA²)
-2 = (2xA - V(1+xA²))/V(1+xA²)
-2V(1+xA²)= 2xA - V(1+xA²)
2xA = -V(1+xA²) donc xA<0
Résolvons 2xA = -V(1+xA²) sachant que xA<0
4xA² = 1+ xA²
3xA² = 1
xA² = 1/3
d'où xA=1/V3 ou xA=-1/V3 or on a vu que xA<0 donc xA=-1/V3

Voilà je crois que décidément va bien falloir que je m'inscrive au Goncourt!!!!

à bientôt,
Dire si pb

Guille64

je peux vraiment te remercier beaucoup car tu m'as vraiment bien tout expliquer et j'ai tout compris maintenant!
tu voudrais pas etre prof de maths par hasard! a moins que tu y sois deja??
en tout cas, tu m'as appris pleins de trucs de maths que  je ne connaissais aps et grace a tes nombreux messages  j'ai pu verifier mes reponses et corriger si c'etait neccéssaire mais pour certaine question tu m'as vraiment decortiquer tout! merci du fond du coeur!
je te tiens au courant pour la note que je vais avoir et je te dirai si il y a des choses qu'on aurais pu faire plus rapidement!
en tout cas, je te donne  mon mail pour qu'on reste en contact! c'est: _{* Tom_Pascal > Pas d'adresse email sur forum STP ! *}
bisous
adeline

Content d'avoir pu te donner de l'aide

inversement tu auras mon mail en cliquant sur le petit bonhomme en haut à droite du cadre...

biz
à très bientôt

Guille64