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TS logarithme népérien (+ un peu exponentielle)
j'ai réussi qqs questions mais sinon je bloque donc si qqn pouvait
m'aider ca serait très sympa! merci d'avance pour l'aide
voilà l'énoncé
(O, i, j) est un repère orthonormal du plan.
1. Pour tout réel x, on pose u(x)=x+1+exp(-x). Montrer que pour tout
réel x, u(x)>0
2. Pour tout réel x, on pose f(x)=ln(x+1+exp(-x)) et on désigne (C)
la courbe représentative de f. Etudier le sens de variation de f.
3.a. Montrer que pour tout réel x, f(x)=-x+ln(xexp(x)+ exp(x)+1)
b.En déduire que la droite delta d'équation y=-x est asymptote à
(C) en - l'infini
c.Etudier la position de (C) par rapport à delta
d.Montrer que pour tout réel x>0, 0< f(x)-ln(x)< ln((x+2)/x). En déduire la
limite en + l'infini de f(x)-ln(x). Etudier la position de (C)
par rapport à la courbe D : y= ln(x)
Je pense avoir réussi à répondre aux questions 2 et 3-b
pour la 2, j'ai calculé la dérivée et j'ai trouvé f'(x)=
(1-exp(-x))/(x+1+exp(-x))ensuite j'ai cherché le signe de f'
et finalement, je trouve que sur ]- infini; 0[ f est décroissante
et sur ]0; + infini[, f est croissante.
Sinon pour la 3b, j'ai calculé f(x)-(-x)= ln(xex+ex+1) puis la limite
de ln(xex+ex+1) en - l'infini et j'ai trouvé 0 donc y=-x
est bien asymptote à (C) en - l'infini.
1)
tu dois derivé u(x)
u'(x)=1-exp(-x), s'annule pour x=0 et u' est negatif sur
]-infini,0] et est positif sur [0,infini[, donc u est d'abord decroissante
puis est croissantde et prends comme valeurs [1, infini[
2)
f'(x)=(x+1+exp(-x))/(1-exp(-x))
f'(0)=0
f'<0 sur ]-inf,0]
f' >0 sur [0,inf[,
donc f est decroissante, puis croissante
avec f(0)=ln(2) et limf(x)=+infini qd x tend vers +infini et vers -infini
3)a)
on met exp(x) en facteur dans ln puis on utilise
ln(ab)=ln(a)+ln(b)
3)b)
on etudie lim (f(x)-(-x))=limln(xexp(x)+ exp(x)+1)=0+
qd x->-inf
3)c) delta est en dessous de (C) car lim=0+
3)d) on etudie le signe de
f(x)-ln(x)-ln((x+2)/x)=f(x)-ln(x+2) en derivant
0 < lim ( f(x)-ln(x) ) < lim (ln((x+2)/x))
(theoreme des gendarmes ou d'encadrement)
or lim (ln((x+2)/x))=0 qd x->+l'infini
d'ou lim (f(x)-ln(x))=0 qd x->+l'infini
lim (f(x)-ln(x))=0+ qd x->+l'infini ainsi (C) est au dessus de
ln(x)
BON COURAGE POUR LA SUITE
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