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TS : Plans et droites
Bonjour à tous!
J'ai de petits problèmes avec un exercice dont voici l'énoncé :
On considère la dorite D qui passe par A(1;2;1) et admet pour vecteur directeur u(-1;0;2), et la doite D' qui passe par B(4;2;2) et a pour vecteur directeur u'(0;1;-3).
1. Vérifier que les doites D et D' ne sont pas coplanaires. On appelle "delta" la droite perpendiculaire à D et D', H le point d'intersection de "delta" et D, H' le point d'intersection de "delta" et D'. On se propose de calculer la distance HH'.
2. Méthode 1.
a) Ecrire les représentations paramétriques des droites D et D'.
Soit M un poind de D de paramètre t et N un point de D' de paramètre m.
Exprimer les coordonnées du vecteur MN , en fonction des paramètres t et m.
b) Déterminer m et t pour que MN soit orthogonal à la fois à u et u'.
c) En déduire les coordonnées des points H et H' et la distance HH'.
3. Méthode 2.
a) Démontrer que le vecteur n(2;3;1) est orthogonal à u et u'.
b) Soit P le plan de repère (A,u,n) et P' le plan de repère (B;u';n).
Démontrer que ces deux plans sont sécants suivant une droite.
Que représente cette droite?
En donner un vecteur directeur.
c) Vérifer que P et P' ont pour équations respectives :
6x - 5y + 3z + 1 = 0 et -5x + 3y + z + 12 = 0.
d) En déduire une représentation paramétrique de "delta".
e) Déterminer les coordonnées des points H et H' et en déduire la distance HH'.
Voici ce que j'ai fait :
1. Il n'existe pas de réel k tel que u=ku'. Les droites D et D' ne sont donc pas colinéaires.
vecteur AB(3;0;1)
AB = "alpha" u + "bêta" u'
"alpha" = 3
"bêta" = 0
6 = 1
Il n'existe pas de réels "alpha" et "bêta" tels que AB = "alpha"u + "bêta"u' donc les droites D et D' ne sont pas coplanaires.
2. a) D : 1-t
2
1+2t t appartient à R
D' : 4
2+m
2-3m m appartient à R
3.a) n.u = -2+2 = 0
n.u' = 3-3 = 0
Le vecteur n est orthogonal à u et u'.
Pourriez-vous m'aider pour la suite! Merci d'avance.
Bonjour
1) ce ne serait pas "les droites D et D' ne sont donc pas parallèles" à la place de "Les droites D et D' ne sont donc pas colinéaires."
si u et v ne sont pas colinéaires et u, v et AB ne sont pas coplanaires, alors les droites D et D' ne sont pas coplanaires.
Pour la méthode 1)
On trouve
Pour que (MN) soit orthogonale à (D) et (D'), il faut que:
et
qui donne le système:
6t+10m=3
5t+6m=-1
dont la solution est: ,
.
Les coordonnées de H et H' sont donc et
et la distance
Sauf erreur(s)
Merci beaucoup j'ai réussi à refaire celà moi-même sauf pour la distance HH' que je n'arrive pas à trouver...
Méthode 2.
a)On vérifie aisément que est orthogonal à
et
.
b)Si les plans P et P' étaient parallèles, et
vecteurs des plans P et P' et orthogonaux à
seraient colinéaires ce qui n' est pas le cas. P et P' sont distincts car contenants (D) et (D') donc sécants suivant une droite
. Cette droite
est précisément la perpendiculaire commune à (D) et (D') et
en est un vecteur directeur.
c) est orthogonal à
et
. De plus A(1,2,1) est un point de P.
Une équation de P est donc bien
On démontre de même que est une équaion de P'.
d)Pour définir , il nous faut un point de cette droite et un vecteur directeur. Le vecteur directeur, on l' a:
. Pour le point, je te propose
dont les coordonnées vérifient les équations de P et P'.
D' où une équation paramétrique de
e)A partir de là, on trouve les coordonnées de H et H' en résolvant les systèmes:
et
qui ont pour solutions: et
On retombe sur les points H et H' trouvés avec la méthode 1).
Merci beaucoup! Je regarderais ceci demain et vous tiens au courant si j'ai des soucis! En tout cas merci beaucoup.
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