Bonjour, je suis en TS et il y a un exercice (en DM) qui me pose problème. Je ne l'ai pas encore terminé mais je poste ici déjà le début car je ne suis pas sûre de mes réponses aux questions 3)A) et 3)B).
(Je ne sais pas comment afficher les racines donc j'ai écrit « sqrt » à chaque fois, pareil pour les vecteurs (CM(vecteur) ) et les angles : AMB(angle) )

Enoncé :
Dans l'espace muni du repère orthonormé (O,i(vecteur),j(vecteur),k(vecteur)), on considère les points :
A(2 ;0 ;0), B(-1 ;sqrt(3) ;0) et C(-1 ; -sqrt(3) ; 0).

1) Placer sur une figure les points A, B et C dans le plan (O,i,j).

2) Montrer que le triangle est équilatéral et que O est son centre

3) A) Déterminer l'ensemble des points  de l'espace équidistants de A et B
3)B) Déterminer l'ensemble des points N de l'espace équidistants des points B et C
3) C) En déduire que l'ensemble des points P de l'espace équidistants des points A, B et C est l'axe (O, k(vecteur) )

4) Montrer qu'il existe un unique point D dont la troisième coordonnée est positive tel que le tétraèdre ABCD soit régulier, et calculer ses coordonnées.

5) Soit M un point quelconque du segment [CD]. On pose CM(vecteur) =lambdaCD(vecteur) avec lambda qui appartient à [0 ;1].
a) Montrer que :
Cos AMB (angle) = (2lambda^2 -2lambda + 1)/ ( 2(lambda^2 -lambda + 1) )
On définit la fonction la fonction f de ℝ dans ℝ par la relation :
F(lambda) =(2lambda^2 -2lambda + 1)/ ( 2(lambda^2 -lambda + 1) ) = 1 - 1/(2(lambda^2 -lambda + 1)
b) Etudier les variations de la fonction f.
c) En déduire la position de M pour laquelle l'angle AMB(angle) est maximum.
d) Quelle est la valeur de ce maximum ?



Dans l'espace muni du repère orthonormé (O,i(vecteur),j(vecteur),k(vecteur)), on considère les points :
A(2 ;0 ;0), B(-1 ;sqrt(3) ;0) et C(-1 ; -sqrt(3) ; 0).
1) Placer sur une figure les points A, B et C dans le plan (O,i,j).
(pas de problème normalement)

2) Montrer que le triangle est équilatéral et que O est son centre
J'ai constaté que AB=BC=AC=2*sqrt(3) donc il est bien équilatéral.
J'ai constaté que AO=BO=CO =2 donc O est bien le centre du triangle.

3) A) Déterminer l'ensemble des points  de l'espace équidistants de A et B
L'ensemble des points M de l'espace équidistants des points A et B est un plan médian, que l'on appellera P.
Soit I le milieu de [AB]. I est équidistant des points A et B donc I appartient à P.
Xi = (xa+xb)/2 = ½
Yi = (ya+yb)/2 = (sqrt(3))/2
Zi = (za+zb)/2=0
On a donc I(1/2 ; (sqrt(3))/2 ; 0)

AB (vecteur) a pour coordonnées (xb-xa ;yb-ya ;zb-za) soit (-3 ; sqrt(3) ; 0)
AB(vecteur) dirige (AB) et est ainsi un vecteur normal au plan P si et seulement si P admet une équation cartésienne de la forme -3x + sqrt(3)y + 0*z + d = 0 avec d un réel.
Cela équivaut à -3x + sqrt(3)y +d = 0

I appartient à P si et seulement si -3*1/2 + (sqrt(3) * sqrt(3))/2 + d = 0, si et seulement si d = 3/2 - 3/2 = 0
Donc P admet une équation cartésienne du type -3x + sqrt(3)y = 0.

3)B) Déterminer l'ensemble des points N de l'espace équidistants des points B et C
L'ensemble des points N de l'espace équidistants des points B et C est un plan médian, que l'on appellera P'.
Soit J le milieu de [BC]. J est équidistant des points B et C donc J appartient à P'.
Xj = (xb+xc)/2 = -1
Yj = (yb+yc)/2 = 0
Zj= (zb+zc)/2=0
On a donc J(-1 ; 0 ; 0)

BC (vecteur) a pour coordonnées (xc-xb ;yc-yb ;zc-zb) soit (0 ; -2 (sqrt(3)) ; 0)
BC(vecteur) dirige (BC) et est ainsi un vecteur normal au plan P' si et seulement si P' admet une équation cartésienne de la forme 0*x + -2(sqrt(3))*y + 0*z + d = 0 avec d un réel.
Cela équivaut à -2(sqrt(3))*y + d = 0

J appartient à P' si et seulement si -2(sqrt(3))*0 + d = 0, si et seulement si d = 0
Donc P admet une équation cartésienne du type -2(sqrt(3))*y = 0, soit y=0
L'ensemble des points N équidistants de B et C est le plan P' d'équation y = 0.

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C'est donc ce que j'ai trouvé mais ces plans me semblent avoir l'équation d'une droite, donc je me demande où j'ai pu me tromper… J'espère que vous pourrez m'aider. Je crois que le reste dépend de ces questions donc je suis un peu bloquée pour le moment.

Merci et bonne journée.