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TS suites
Bonjour, voici mon exercice, j'ai réussi la 1ère question mais pas la deuxième
La suite U(n) est définie par u0=1 et pour tout entier n, u(n+1)= U(n)/ V((Un)²+1)
1) Prouver que tous les termes sont positifs(j'ai fait une récurrence), en déuire que la suite est décroissante (rapport U(n+1)/U(n)) et justifier sa convergence (décroissante et minorée pas=r 0 car positive)
2) calculer les valeurs exactes des 5 premiers termes de la suite et conjecturer l'expression de u(n) en focntion de n.Démontrer cette conjecture et calculer la limite de la suite.
Je pense que U(n)=1/Vn mais je n'arrive pas à le démontrer, pourriez-vous m'aider?
Merci d'avance
Je penche plutôt pour conjecturer que: U(n) = 1/V(n+1)
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Supposons que U(n) = 1/V(n+1) soit vraie pour n = k, on a alors:
U(k) = 1/V(k+1)
U(k+1) = U(k) /(V((Uk)²+1))
U(k+1) = (1/V(k+1)) /V((1/(k+1))+1)
U(k+1) = (1/V(k+1)) /V((k+2)/(k+1))
U(k+1) = 1/V(k+2)
Cette dernière égalité étant l'expression U(n) = 1/V(n+1) avec n = k+1.
Donc si U(n) = 1/V(n+1) est vraie pour n = k, elle est vraie aussi pour n = k+1. (1)
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Montrons que U(n) = 1/V(n+1) est vraie pour n = 0, U(0) = 1/V(0+1) = 1
Et donc U(n) = 1/V(n+1) est vraie pour n = 0, par (1), U(n) = 1/V(n+1) est également vraie pour n = 1.
U(n) = 1/V(n+1) est vraie pour n = 1, par (1), U(n) = 1/V(n+1) est également vraie pour n = 2.
Et ainsi de proche en proche, U(n) = 1/V(n+1) est vraie pour tout n de N.
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Sauf distraction. 
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