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[TS] vecteurs, barycentres,... vrai ou faux?
Salut!
j'ai un exercice où il me faut répondre par "VRAI" ou "FAUX" à six affirmations et j'aimerais un peu d'aide de votre part (des indications) si vous en avez le temps 
voici l'énoncé:
Dans le plan affine, on considere ABC un triangle rectangle en A, I le milieu du segment [AB] et J le centre de gravité de ABC.
Pour tout réel m, différent de -3, on note Gm le barycentre du systeme de points ponderés Sm={(A;1),(B;m),(C;2m)}.
Pour tout point M du plan on note .
Pour chacune des six affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse.
=> G1 est le milieu du segment [CI]
=> G1 est barycentre de {(J;2),(C;2/3)}
=> Pour tout point M,
=> Pour tout m, distinct de -1/3 , est colinéaire à
=> IBG-1/2 est un triangle rectangle
=> Pour tout point P de (AG-1), il existe un réel m tel que P=Gm
Merci à ceux qui auront pris le temps de lire ce message.
Seb 
bonjour,
G1=bary {(A,1);(B,1),(C,2)}
=bary {(I,2);(C,2)}
donc G1 milieu de [IC] => 1 est vraie
Soit H le bary {(J;2),(C;2/3)} donc H bary {(J,6);(C,2)} donc H bary {(J,3);(C,1)}
donc 3HJ+HC=0
or J isobary de A,B,C donc pour tout point M du plan on a MA+MB+MC=3MJ
pour M=H on a HA+HB+HC=3HJ
donc HA+HB+HC+HC=O
HA+HB+2HC=0
c est a dire que H bary {(A,1);(B,1),(C,2)} donc H=G1 => 2 est vraie
Comme Gm est barycentre des points {(A;1),(B;m),(C;2m)}.
on a pour tout point M du plan
MA+mBM+2mMC=(1+3m)MGm
pour M=A on a
mAB+2mAC=(1+3m)AGm
AB+2AC=(1+3m)/m*AGm
Or G-1 est barycentre du systeme des points pondérés {(A;1),(B;-1),(C;-2)}.
c est a dire pour tout point M on a
MA-MB-2MC=-2MG-1
Pour M=A, on a
-AB-2AC=-2AG-1
AB+2AC=2AG-1
on a donc
(1+3m)/m*AGm = 2AG-1
pour m different de -1/3,les vecteursAGm et AG-1 sont bien colinéaires donc la proposition est vraie
G-1/2 est barycentre des points pondérés {(A;1),(B;-1/2),(C;-1)}.
barycentre des points pondérés {(A;-2),(B;1),(C;2)}.
on a donc pour tout point M du plan -2MA+MB+2MC=MG-1/2
pour M=B on a 2AB+2BC=BG-1/2
2AC=BG-1/2
on a AI.AC=0 car ABC est rectangle en A
donc 1/2*AI.BG-1/2=O donc le triangle IBG-1/2 est rectangle
... et pour la dernière, en faisant confiance aux calculs de cqfd67 :
soit P le point de (AG-1) tel que
Gm = P conduit à , et aucune valeur de m ne convient, donc proposition fausse.
sauf erreur comme d'hab.
Au fait, pour la dernière, on peut le faire sans calcul :
A, B, C n'étant pas alignés et le coefficient affecté à A n'étant pas nul, le barycentre Gm de (A,1), (B,m), (C,2m) ne peut pas appartenir à (BC).
Donc le point d'intersection de (AG-1) et (BC), qui existe, ne peut pas être un point Gm.
sauf erreur
merci pour vos interventions!
je ne m'attendais pas à une résolution complète, mais ça ne se refuse pas, je vais relire tout ça bien entendu.
bonne soirée.
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