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TVI continuité terminale s
Bonsoir tout le monde
Je bloque un peu sur un exercice de mon DM et j ai besoin de votre aide
Niveau terminale s.
Enoncé:
Soit f une fonction continue sur [a,b] tel que f(a)=f(b) montrer que l equation
F(x)=f(x+(b-a)/2) admet au moins une solution dans [a,b]
Ce que j ai fait
F(x)-f(x+(b-a)/2)=0
F continue sur [a,b]
La deuxième est une composée fog(x)
F continue sur [a,b]
G(x)=x+(b-a)/2 continue sur R donc sur [a,b]
a<x<b
=> (a+b)/2<x+(b-a)/2<(3b-a)/2
G(a)= (a+b)/2 et g(b)=(3b-a)/2
Donc g(a)<g(x)<g(b)
g([a,b])C[a,b] (C symbole d inclusion)
Alors fog est continue sur [a,b]
J ai noté h(x)= f(x)-f(x+(b-a)/2)
H est continue sur [a,b]
Je ne sais pas trop si c est correct
Dans le produit des images je bloque..
On a h(a)×h(b)=(f(a)-f((a+b)/2))×(f(b)-f((3b-a)/2)
En substituant vu que f(a)=f(b)
J obtiens h(a)×h(b)=0
Je dois normalement avoir h(a)×h(b)<0
J aimerais bien avoir votre aide,merci d avance!
Bonsoir
La question n'est pas très bien posée : essaie de montrer qu'il y a une unique solution sur
alors cette solution sera forcément dans , car
peut-être aussi que la question est posée de façon à éveiller l'esprit critique en maths, aussi ...
après tout, rien n'est dit de plus sur donc on peut supposer qu'elle est définie sur
, et alors ta fonction
n'est définie que sur
Bonjour,
@Zormuche,
Je ne pense pas que l'adjectif "unique" soit bienvenu.
Exemple : f(x) = sin(x) avec a = 0 et b = 10
, ou même 20.
Bonsoir
Ah là je vois mieux. Effectivement ça a bien fonctionné avec I=[a,(a+b)/2] 
Merci bien @Sylvieg et @Zormuche !
@Zormuche j arrive pas vraiment à voir pourquoi h n'est définie que sur [a,(a+b)/2] ?
@Sylvieg c'est réglé!
car
est somme de deux fonctions définies respectivement pour
et
autrement dit, est définie si
et
est donc définie sur l'intersection des deux ensembles, donc sur
Merci.
soit .
Bon, pour que l'équation k(x)=0 admet au moins une solution dans [a;b]il faut que deux conditions soient satisfaites:
*1: k est continue sur [a;b] (facile à démontrer).
*2: k(a).k(b)<0 ( c'est dont j'ai besoin de l'aide).
Je dois déterminer le signe de k(a) et de k(b) en tenant en considération que f(a)=f(b).
J'ai lu vos propositions mais je n'ai pas bien compris ce que vous avez fait ^_^'.
comme je l'ai dit plus haut, la question n'est pas posée de façon intuitive
on n'a pas forcément k(a)*k(b) = 0 dans ton cas
par contre, si tu étudies la fonction k sur l'intervalle tu auras de quoi faire
Parce que k vérifie les hypothèses du TVI sur cet intervalle
Représente toi un intervalle [a,b], une fonction f continue sur cet intervalle, et essaye de voir ce que représente k(x) lorsque
Bonsoir,
J'ai connu la raison pour laquelle vous avez choisi d'étudier k sur . Au début je m'entêtais et me disais que x varie sur [a;b] tout entier alors pourquoi restreindre l'étude dans la moitié de l'intervalle. Mais quand j'ai calculé
et
, j'ai trouvé:
. Par conséquent
. Cela signifie qu'au moins deux éléments de [a,b] sont de signes contraires (vu que
); autrement dit, f s'annule en un certain point de [a;b] (comme elle est continue sur cet intervalle).
Merci Zormuche ^-^!
Mais comment rédiger cela? Est-ce que je dois appliquer le T.V.I à k entre et
directement ou souligner au début que
?
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