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TVI et nombre de solutions
Bonsoir à tous,
je bloque sur un exercice je vous met l'énoncé je vous dis ce que j'ai réussis à faire :
"L'équation sin x + ln x =0 admet elle une solution ? Si oui, préciser le nombre de solutions".
J'ai posé la fonction f(x)= sin x + ln x définie sur ]0;+∞[.
Je calcule les limites au bornes de définition, pour 0 plus j'ai comme limite -∞, pour +∞ j'ai comme limite +∞.
Sachant que f(x) est fonction de deux fonction continue c'est aussi une fonction continue sur son domaine de définition. Par TVI on peut facilement en déduire qu'il passe au moins une fois par 0.
Le problème c'est comment trouver le nombre de solution pour l'équation.
J'ai tracer la fonction et j'ai vue qu'il passe qu'une unique fois par 0 mais comment le démontrer ?
Merci d'avance pour votre aide.
Si je fais la dérivé j'ai : f'(x)= cos x + (1/x)
Je ne vois pas du tous comment je peux résoudre cos x+(1/x) = 0
Effectivement.
Voici quelques voies de réflexion.
On peut dire que est la somme de deux fonctions ,
qui est une fonction strictement croissante et de
qui est une fonction periodique comprise entre -1 et +1 et que ses minimums sont atteint pour
.
Tu peux montrer que On sait aussi que pour
, donc pour
. Ceci ne résous pas le problème pour autant.
Tu as :
On constate que si :
ne peut pas s'annuler car on se retrouve avec
s'annulera une infinité de fois du fait de la périodicité de
et car on se retrouve avec
L'objectif est d'aboutir que l'unique solution est entre 0 et 1
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