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TVI, limite et dichotomie

Posté par
1mandin3
05-02-22 à 20:22

Bonjour, j'ai du mal à savoir quoi faire pour commencer, un peux d'aide ne serait pas de refus : )

Pour tout n*, on définit sur la fonction Pn:

     xPn(x) =  -1+\sum_{k=1}^{n}{x^{k}}

1) Démontrer que : n*, !xn*+, Pn(xn) = 0 (T.V.I)

2) Déterminer le signe de Pn+1(xn), puis démontrer que la suite (xn) est décroissante.

3) En déduire que la suite (xn) est convergente, et on note l sa limite.

4) Démontrer que pour tout entier n > 2, on a : 0 < xn < x2 < 1. En déduire que \lim_{n\rightarrow +infini} (x_{n})^{n+1}=0

a) Démontrer que n*, x-1, Pn(x) = -2 + \frac{1-x^{n+1}}{1-x}

b) En déduire la valeur de l.

5) Écrire un algorithme utilisant la dichotomie permettant d'afficher les valeurs de xn pour les valeurs de n telles que : 1 n Nmax

Je sais que c'est compliqué mais cela fait des heures que je suis dessus sans même avancer.
Merci aux personnes qui vont m'aider.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : TVI, limite et dichotomie 05-02-22 à 21:14

Bonsoir,
Pour quel type de fonction peut-on utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, ou plutôt son corolaire, pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution ?

Posté par
1mandin3
re : TVI, limite et dichotomie 05-02-22 à 21:47

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur [a;b], alors quel que soit le réel k compris
entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une unique solution dans [a;b]

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : TVI, limite et dichotomie 05-02-22 à 21:54

Il faut donc étudier le sens de variation de la fonction Pn.
Puis chercher a et b tels que le réel 0 soit compris entre Pn(a) et Pn(b).

Posté par
1mandin3
re : TVI, limite et dichotomie 05-02-22 à 21:55

Sauf que je ne vois pas comment faire avec une somme.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : TVI, limite et dichotomie 05-02-22 à 22:06

Commence avec une valeur de n, par exemple n = 5.
P5(x) = - 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5.
Ça devrait t'aider à traiter le cas général.

Je ne vais plus être disponible avant demain.
Bonne recherche, et bonne nuit

Posté par
1mandin3
re : TVI, limite et dichotomie 05-02-22 à 22:16

Merci vous aussi



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