Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

TVI/Suite/Récurrence/Convergence

Posté par
Goodka33
16-01-18 à 20:38

Bonsoir , j'aurais besoin d'un peu d'aide car je bloque un peu là.

Pour tout entier n>0, on définit la fonction gn sur [0;+oo [ par gn (x)=xn+x-1

1. Etudier, pour tout n>0, les variations  de gn

2. Démontrer que l'équation xn+x=1 admet une solution réelle unique pn et que 0 <pn<1

3.Démontrer que pour tout n>0 , gn (pn+1)>0

4. En deduire que la suite (pn) converge.

Pour le 1 je pense qu'il faut dérivé mais je n'aboutit aucune part , pour la 2 c'est le corollaire du TVI (celle la j'ai réussi en admettant les resultat de la 1 sans pouvoir prouver ces derniers), pour la 3 ça doit être une récurrence mais je ne trouve rien de concluant et pour la 4 , sans la 3 c'est assez difficile.

Merci pour votre aide

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 20:45

Bonsoir,
1)  tu étudies le signe de la dérivée sur [0;+∞[ , je ne vois aucune difficulté.
Que trouves-tu  pour g'n

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 20:47

Je trouve nxn-1+1 mais je vois pas trop comment l'exploiter.

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 20:48

OK pour  la dérivée
tu sais que x est  positif ....

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 20:50

x et n sont positif donc gn' positif  ?

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 20:55

n est l'exposant      ( remarque 5^{-2} =1/5^2 est positif )

si x est positif alors xn  est positif

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 20:59

Donc nxn-1+1 >1
Donc dérivée strictement positif donc gn' strictement croissant  sur [0;+oo [

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 21:03

g'_n(x)=nx^{n-1}+1\geq 1
g ' positive OK

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 21:05

Pour la question  2 suffit d appliquer la corollaire du TVI

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 21:10

Pour la 3 c'est sûrement une récurrence  j'avoue ne pas trop savoir quoi faire poir celle là

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 21:12

tu calcules g(0)      et g(1) et tu appliques le corollaire de TVI  OK

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 21:54

pour la 3)
tu sais que p_{n+1}^{n+1}-p_{n+1}=1
calcule g_n(p_{n+1})

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 22:18

(pn+1)n+pn c'est ça?

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 22:35

???
gn(x)=xn+x-1
remplace x par pn+1
gn(pn+1)=remplace x par pn+1

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 23:46

gn=xn+x-1
gn+1= (x+1)n+(x+1)-1
=(x+1)n+x

Posté par
flight
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 16-01-18 à 23:54

salut

sauf erreur gn(x) est strictement croissante sur [0;+[
gn(0)=-1 et gn(1)=1  et comme gn(x) est continue  elle coupe forcement l'axe des abscisse
des abscisses en un point pn  compris entre 0 et 1

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 17-01-18 à 07:49

gn(x)=xn+x-1
gn+1= (x+1)n+(x+1)-1
=(x+1)n+x   aucun sens  

je te demande de  calculer
g_n(p_{n+1})=

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 17-01-18 à 09:06

On va appeler x pn

xn+1=xn+1+x-1

C'est ça qu'il faut faire?

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 17-01-18 à 09:14

Goodka33 @ 17-01-2018 à 09:06

On va appeler x pn
oups l inverse en fait

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 17-01-18 à 10:49

3)
 p_{n+1} est la solution de l'équation x^{n+1}+x=1
tu calcules
g_n(p_{n+1} ) et tu montres que g_n(p_{n+1} )>0

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 17-01-18 à 23:40

gn(pn+1)=pn+1n+1+pn+1-1
Je pense que la ça va , mais pour démontrer que c'est supérieur a 0 là  je trouve pas

Posté par
Goodka33
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 17-01-18 à 23:45

Et après pour dire que c'est convergent je sèche complet

Posté par
PLSVU
re : TVI/Suite/Récurrence/Convergence 18-01-18 à 09:10

gn(pn+1)=pn+1n+1+pn+1-1
c'est faux
rappel
g_{\red{n}}(x)=x^{\red{n}}+x-1
  pour la convergence voir cours ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !