Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal   du plan. On rappelle que pour tout vecteur   non nul, d'affixe z, on a :   et   défini à    près.
Dans cet exercice, on prend comme prérequis le résultat suivant :
Si z et z' sont deux nombres complexes non nuls alors arg(zz') = arg(z) + arg(z') (à   près).

1. Soit z et z' sont deux nombres complexes non nuls, démontrer que arg(z/z') = arg(z)- arg(z').
On note A et B les points d'affixes respectives 2i et -1. A tout nombre complexe z, distinct de 2i, on associe le nombre complexe z = (z+1)/(z-2i).

2. Donner une interprétation géométrique de l'argument de Z dans le cas où z différent de -1.

3. Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question précédente, les ensembles de points suivants :
a. L'ensemble E des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre réel négatif.
b. L'ensemble F des points M d'affixe z tels que Z soit un nombre imaginaire pur.

4.(a) Déterminer les nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexe z distinct de 2i, (z+1)/(z-2i) = a+(b/(z-2i)

4.(b) Démontrer alors que pour tout nombre complexe z distinct de 2i, !z-1! = (racine 5)/(!z-2i!)

4.(c) Déterminer l'ensemble G des points M d'affixe z tels que z soit sur le cercle de centre I d'affixe 1, et de rayon 5.