Bonjour Sylvieg

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Pourquoi un air de disque, ce pourrait ne pas en être un ?
a b me paraît un peu vague
Je suppose qu'on a le rayon maxi quand a=2b, dans ce cas R=b/2
Si a=b on a un carré et dans ce cas le centre des 2 cercles est sur une diagonale et le point de tangence en son milieu et sur les côté du carré. Quant à calculer R, il fait trop chaud, j'ai le flemme.

Bonjour
Je pense qu'il faut R maximum en fonction de a & b (avec a < 2b sinon R = b/2).

Oui, c'est une expression du rayon maximum en fonction de a et b que j'ai cherchée.
Effectivement, si a 2b alors le rayon maximum est b/2 .
C'était une partie de la réponse que j'ai trouvée. Reste à traiter a < 2b

@mijo : Un R de disque, compact ou 78 tours ?

salut

si la droite (IJ) est parallèle à la droite (AB) alors on a :

4r a et 2r b donc r Min (a/4, b/2)

...

PS : j'introduis peut-être (et même évidemment plus de choses que nécessaire)

je n'aime pas les rectangles (et plus généralement les polygones) dextrogyres donc je propose ma figure ... et les notations et simplifications suivantes  pour donner une direction :



ensuite pour les simplifications :

je pose b = AD = 1
AB = k (= a/b) > 1

ensuite évidemment si on veut un rayon r maximal il faut :

que les cercles soient tangents
que les cercles soient "tangents aux côtés" (je me comprends et j'espère vous aussi )

quitte à considérer le point B' tel que (A, B', D) soit orthonormé alors :

les coordonnées de I sont (r, r)
les coordonnées de J sont (a, b)

alors les coordonnées des points E, F, G, H, K, L, M et N sont connues

et on a :

      (1)

et

      (2)

mais donc

(1)

(2)

le rayon est maximal lorsque l'une (au moins) des inégalités est une égalité (et fort probablement les deux intuitivement évident ... mais attention à son intuition ...)

d'autre part

or puisque'on veut un rayon maximal on a :a = k - r et b = 1 - r

donc r est solution de l'équation

sans aucune certitude ...

je dirai même plus : intuitivement la probabilité que je me soit trompé n'est presque surement pas nulle ...

Ta formule marche pour k = 2 ; elle donne 1/2 comme rayon maximum.
Mais, avec un carré, on a k=1 et ta formule donne 1/3 . Bof...
N'oubliez pas de blanker
Ci-dessous, aussi pour mijo, le rayon maximum pour un carré de côté a :

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désolé
voir ma dernière affirmation
désolé

Bonjour

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Si a  < 2b  je propose R = ( a + b  - V ( 2ab) )/2
V = racine

@royannais :

Deux remarques :

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La formule est valable pour l'inégalité large : a 2b
En fait a 2b et b 2a .
b a ne sert à rien.

Sous le cadre de saisie, le bouton donne accès à plein de symboles dont

Bonjour,
et merci pour l'animation.

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Je suis parti d'un modèle 10/6 en positionnant deux cercles tangents au centre de
la diagonale et aux longueurs et largeurs.
Après de longs calculs pour trouver l'angle entre la diagonale et la ligne des centres,
j'ai trouvé R 2.52 avec un angle 5.4°.
Je vais essayer une simplification...

@dpi,

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Pour 10 et 6, le rayon maximum est 8-30 .
Ce qui donne bien environ 2,52 .
Pour éviter des calculs avec des angles (ce qui avait été ma première idée), utiliser le rectangle de diagonale [IJ] qui apparaît sur la figure de carpediem.
Les dimensions du rectangle, diagonale comprise, sont assez faciles à trouver.

bon après m'être occupé du jardin et des tomates je reviens :

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j'ai évidemment fait de grossières erreurs dans

Citation :
donc r est solution de l'équation

je reprends :



on prend la plus grande solution évidemment donc

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je trouve alors comme royannais

@carpediem,

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Citation :
je trouve alors comme royannais

Au - près

Il ne faut pas prendre la plus grande solution ; en effet, avec r>1/2 , un cercle de rayon r serait un peu à l'étroit dans ton rectangle de dimensions 1 et k .

On peut trouver le résultat en utilisant Pythagore dans un des demi rectangles de diagonale IJ .

il fait trop chaud ...

Oui, mais c'est bon pour les tomates
Sauras-tu optimiser leur rangement dans un cageot ... sans les écraser ?

Suite

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En refaisant mon exemple et en utilisant la méthode du rectangle des centres,
j'ai (6-2R)²+(10-2R)²=4R² d'où je tire 4R²-64r+136=0  avec une belle racine R=2.5228.
On peut généraliser.

OK dpi.
Après tes polygones dans un carré, je vais bientôt proposer trois disques dans un carré
Je me suis enfin décidée à me replonger dans Géoplan pour pouvoir faire des figures...

geogebra me semble mieux que geoplan ...

Bonjour Sylvieg,

Peut-être vas tu nous rappeler le bon temps de énigmes.

Salut, voici ma petite solution pour 3 cercles

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Soit un rectangle de côtés a et b, a b (si a<b, il suffit d'inverser a et b).
On cherche le rayon r maximal de trois cercles tels que ces cercles puissent tenir ensemble dans ce rectangle.

Si a 3b alors r est b/2.

Sinon on a deux cercle qui touchent un grand côté et le troisième placé au milieu touche l'autre grand côté et les deux premiers cercles.
On a .

En résolvant pour r, on obtient .

Voilà, voilà

Pour 4 cercles ça devient plus compliqué car il y a plus de configurations à vérifier en fonction du rapport a/b.

Erratum :

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* Erreur de signe dans l'expression de r :
* Quand b est trop grand alors c'est 4r a qui limite : Si alors

Bonjour Sylvieg

Pour trois disques dans un carré, je propose la configuration suivante (réalisée avec"atelier de géométrie" :

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Quelle rapidité !
J'évoque à peine une future énigme, je pars me promener malgré la chaleur, et des solutions sont déjà proposées

@royannais,
Je trouve le même résultat avec la même configuration.
Mais je ne sais pas démontrer que c'est la meilleure

@LittleFox,
Je n'avais envisagé que le cas du carré. Pourquoi pas plus général.
Pour a = b , tu trouves a/4 , si j'ai bien compris.
Or le résultat, avec une autre configuration que la tienne, est un peu plus grand.

La difficulté me semble être de trouver la configuration qui optimise.
Mais aussi de le démontrer, pour être certain qu'il n'y a pas mieux.

Un peu de patience, d'ici demain je devrai créer un nouveau sujet avec les trois disques.

Bonjour
En puisant dans vos diverses contributions, j'essaie de rédiger une solution au problème posé par Sylvieg des deux disques de rayon r maximal, inscrits dans un rectangle dont le plus grand côté vaut a et l'autre b , dans le cas non évident où a<2b.
Les deux disques sont entre les bords droite et gauche du rectangle donc la distance "horizontale" des centres est <=a-2r.
De même, la distance "verticale" des centres est<=b-2r.
D'après Pythagore, le carré de la distance des centres est donc <= (a-2r)^2+(b-2r)^2.
Mais ce carré doit être >=4r^2 car les disques sont extérieurs l'un à l'autre.
On en déduit que le trinôme a^2+b^2-4r(a+b)+4r^2 doit être positif donc r à l'extérieur de l'intervalle des racines, qui sont deux réels positifs.
r ne peut dépasser la plus grande des deux racines, car elle est supérieure à a et b.
r doit donc être inférieur à la plus petite, qui est a+b-racine(ab/2) que nous notons r1.
En calant deux disques de rayon r1, l'un en haut à gauche du rectangle, l'autre en bas à droite, on vérifie par les mêmes calculs que ces disques sont entre les bords du rectangle et tangents extérieurement, donc conviennent.
r1 est donc bien le r maximal.

Bonjour rogerd,
Merci pour cette synthèse qui manquait un peu.
Et surtout, tu démontres que la configuration "cercles tangents en diagonale" est bien la plus performante

Tu es inscrit depuis peu ; je me permets donc quelques conseils pour rendre tes messages plus agréables à lire :

Ecrire les formules en utilisant les boutons sous la zone de saisie.



Sauter des lignes de temps en temps pour aérer.
Utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster.

Merci à Sylvieg pour ses conseils pour améliorer la présentation!

Attention, à la fin, c'est

merci à  Sylvieg.

Je profite de la rectification pour essayer d'améliorer la présentation .

Les deux disques sont entre les bords droite et gauche du rectangle donc
la distance "horizontale" des centres dh vérifie: dh+2r a.
de même la distance "verticale " dv  vérifie dv+2r b.
D'après Pythagore, le carré de la distance des centres est dh²+dv².
Il doit donc être inférieur à (a-2r)²+(b-2r)².
Mais la distance des centres doit être supérieure à 2r car les disques sont extérieurs l'un à l'autre.
On doit donc avoir: 4r² (a-2r)²+(b-2r)² donc r²-r(a+b)+(a²+b²)/40.
Le discriminant de ce trinôme est (a+b)²-(a²+b²)=2ab
et ses racines: r₁=(a+b)/2-(ab/2) et  r₂=(a+b)/2+(ab/2) .

r doit être à l' extérieur de l'intervalle des racines.
r r₂ ne convient pas car  r₂b, donc rr₁.

La fin est sans changement.
Ouf!

Bravo

Et pour compléter, une figure :
Je n'ai pas réussi à écrire dh et dv . Ils sont remplacés par d₁ et d_{2 .}.

Bonjour,

*Rogerd* a donné une bonne synthèse ,résultat précisé par *Sylvieg*
mail 03-08-18 à 16h51.
D'une manière générale les problèmes posés me sont d'accès difficile,
je m'en fait une raison!

Amicalement,

Alain

Bonjour interpol,
N'hésite pas à demander des explications ou des détails.
Les sujets "détente" sont censés être faits pour se... détendre
Mais déjà comprendre les pistes proposées n'est pas toujours facile.
Je ne doute pas que les réponses qui te seront faites seront appréciées par d'autres qui n'osent pas s'exprimer
Et puis s'obliger à détailler, peut être parfois l'occasion de trouver une simplification ou carrément autre chose.

il me semble que mon premier msg donnait quasiment tout ... le raisonnement et le principe (avec des coordonnées pour les notations (style ggb) mais pas nécessaires) ... et modulo la grossière erreur corrigée dans mon msg suivant ... et par d'autres ...