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Un air maximal

Posté par
petitnuage
29-09-18 à 16:29

Bonjour !
Je suis coincée sur un exercice de maths depuis un moment et plus précisément sur une question qui m'empêche d'avancer pour faire le reste. L'exercice est dans le chapitre des fonctions exponentielles, le voici:

Partie 1:

Soit f la fonction définie et dérivable sur R par f(x)= 4/e^x +1. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'origine O.
Pour tout réel x positif ou nul on note:
M le point de C de coordonnées (x;f(x))
P le point de coordonnées (x;0) et Q Le Point de coordonnées (0;f(x))

(Voir graphique)

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, réaliser la construction de C et déterminer une valeur approchée de la valeur x rendant l'aire du rectangle au PMQ maximale

Pour cette partie, je suis pose que cela sera avec l'aide de logiciel comme geogebra et généralement on le fait ensemble en classe.

Partie 2

A. Soit g(x)= e^x-xe^x+1 pour tout réel x.

1/ étudier les variations de la fonction g.

Pour cette question j'ai tout d'abord calculer la dérivée de la fonction ainsi:

g'(x)= -xe^x

e^x est toujours positif.
-x est négatif.

Donc g'(x) est négatif et g(x) est décroissant.

2a/ résoudre dans R l'inéquations g(x)>1.

Alors c'est ici que je bloque. On aurait donc ça:

e^x-xe^x+1>1 et je sais que e^0= 1.

J'aimerais bien réduire ça de la forme e^x<e^y= x<y mais le "-xe^x" m'embête.

Si quelqu'un pouvait me donner des indices pour que je puisse résoudre cette inéquation

Merci d'avance pour les futurs aides !

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:30

Oups, j'ai oublié d'insérer le graphique

Un air maximal

Posté par
hekla
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:43

Bonjour

commencez par la simplification

 \text{e}^x-x\text{e}^x+1>1 \iff  \text{e}^x}(1-x)>0

Posté par
sanantonio312
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:46

Bonjour,
-x n'est négatif que si x est positif

Posté par
hekla
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:49

Bonjoursanantonio312

comme le dessin était sur la partie positive je n'ai pas relevé

Posté par
sanantonio312
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:52

Bonjour hekla
En effet, tu as raison. Mais la fonction est définie sur
petitnuage ne nous aurait-elle pas tout dit?

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:54

J'avais déjà favorisé, mais je pensais que j'étais sur la mauvaise voie. Je vais réfléchir avec cette forme alors

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:56

J'ai oublié quelque chose ? Attendez je relis mon poste

Posté par
hekla
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:57

je ne pense pas car

Citation :
Pour tout réel x positif ou nul on note:


était-il besoin de définir la fonction sur \R ?

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 16:59

petitnuage

hekla @ 29-09-2018 à 16:43

Bonjour

commencez par la simplification

 \text{e}^x-x\text{e}^x+1>1 \iff  \text{e}^x}(1-x)>0


Pourquoi trouvez-vous ">0"

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:01

Ah non je viens de comprendre en faite, excusez moi

Posté par
hekla
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:02

Que donne 1-1 ?

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:06

1-1= 0
Je viens de comprendre pourquoi vous avez fait cela merci !
Je suis en train de chercher pour l'inéquation. Peut-on divisé par (1-x) des deux côtés ?

Posté par
hekla
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:08

vous avez un produit   dont un des termes est strictement positif

à quelle condition ce produit sera-t-il positif ?

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:09

À condition que (1-x) soit positif ?

Posté par
hekla
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:11

est-ce difficile de résoudre cette inéquation ?

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:22

Pour résoudre cette inequation, il faudrait résoudre (1-x)>0 c'est ça ?

Posté par
hekla
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:27

résumons

g(x)>1 \quad \text{e}^x-x\text{e}^x+1>1 \iff \text{e}^x(1-x)>0

pour tout x\in \R , \text{e}^x >0  cela revient à résoudre 1-x>0
oui

Posté par
petitnuage
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:34

Génial enfin compris ! Je vais pouvoir résoudre cette inequation sans problème ! Je vous remercie infiniment pour le temps que vous m'avez consacré seulement pour cette petite inéquation !

Posté par
hekla
re : Un air maximal 29-09-18 à 17:38

il ne faut jamais rester sur ses interrogations
de rien



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