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un autre regard sur les bissectrices des angles d'un triangle .
Bonjour a tous , cette exercice permet de comprendre beaucoup de chose .. A vous de le résoudre :=)
Soit un triangle ABC.
La bissectrice [Ax) de l'angle BAC coupe [BC] en A' .
La parallèle a la droite (AC) passant par B coupe la bissectrice [Ax) en M .
Notations : a=BC b=CA c=AB
1)a) Démontrer que le triangle ABM est isoçèle en B.
b) On cherche à exprimer A' comme barycentre des points B et C.
1°) pourquoi les masses de B et C peuvent-elle être choisies positives ?
2°)En utilisant une configuration de thales démontrer que A'B/A'C=c/b
3°)Déduire dezs points 
et
que A' est le barycentre des points pondérés (B,b) et (C,c) puis la position de A' sur (BC) définie par une égalité vectorielle.
2)a) Justifier sans faire appel au résultat général concernant l'existence d'un barycentre que les poin pondérés (A,a),(B;b) et (C,c) possèdent un barycentre qui sera noté I.
b) Démontrer que I appartient a la droite (AA')
c) Démontrer que les bissectrices des angles du triangle ABC sont concurantes en I: il est inutile de rédiger les démonstrations analogues à celles qui précèdent , mais il est nécessaire de mentionner les résultats correspondantss.
3) Conclure cette étude par l'énoncé du théorème ainsi dénoncé !
BONNE CHANCE !!
ABM est isocèle car AM coupe les deux parallèles AC et BM avec des angle égaux donc BMA=MAC et comme MAC=BAM puisque AM est bissectrice, on a bien BAM=BMA.
Les masses peuvent être choisies positive parce que A' est forcement entre B et C
Thalès entre les triangles AA'C et BA'M donne A'B/A'C=BM/AC mais on sait que BM=BA puisque le triangle est isocèle donc A'B/A'C=AB/AC=c/b
Donc bA'B =cA'C qui montre que A' est barycentre de (B,b) et (C,c) ou bien que
Par transitivité du barycentre (en remplaçant le barycentre de (B;b) et (C,c) par (A';(b+c)) on voit que le barycentre se situera sur AA'.
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