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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Un calcul d'intégrale

Posté par
Thomasdxb
22-06-22 à 14:53

Bonjour,

Je cherche à calculer I=\int_0^{2\pi}(e^{inx}-e^{ipx})^2dx. Déjà, lorsque n=p, on a directement que I=0.

Puis, si n\neq p, j'ai développé l'intégrande, pour obtenir que I=\int_0^{2\pi} (e^{2inx}+e^{2ipx}-2e^{i(n+p)x})dx=[\frac{1}{2in}e^{2inx}+\frac{1}{2ip}e^{2ipx}-\frac{2}{i(n+p)}e^{i(n+p)x}]_0^{2\pi} et je trouve que tout ça fait 0.

Je suis censé trouver I=4\pi.
Qu'est-ce qui ne va pas dans mon raisonnement ?

Merci.

Posté par
Rintaro
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 15:49

Bonjour,

ton énoncé est incomplet, p et n sont dans N ? Dans Z ?
Ensuite, pour n différent de p, on doit bien obtenir 0. Et je parie que tu es censé trouver -4 pour une certaine valeur de (n,p).

Posté par
Rintaro
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 15:54

Je rectifie :

Ensuite, pour n différent de p et différent d'autre chose, on doit bien obtenir 0.

Posté par
Thomasdxb
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 20:08

Bonjour Rintaro, et merci pour ta réponse.

Les entiers n et p sont naturels, j'ai effectivement oublié de le préciser.
En fait, dans la solution, il est directement écrit que I=\int_0^{2\pi}(2-2cos((n-p)x))dx...

J'ai essayé de retrouver ce résultat avec le raisonnement de mon premier post, mais aussi en essayant de factoriser par des angles moitié ou encore en utilisant la forme trigonométrique, bref l'enfer sur Terre comme disait ma grand-mère !

Dans ton post, tu précises "si n\neq p différent d'autre chose". Il s'agit donc de 0.

Voilà, est-ce que tu vois comment on obtient la première égalité que j'ai écrite ? Peux-tu me guider ?

Merci !

Posté par
Thomasdxb
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 20:16

J'ai trouvé ! Je poste demain ma démarche.

Posté par
Thomasdxb
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 20:28

Bon en fait j'arrive à I=\int_0^{2\pi} -4e^{i(n+p)x}(2-2cos((n-p)x))dx

Posté par
Pirho
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 22:26

Bonjour,

en attendant le retour de Rintaro

dès le début on peut introduire l'angle moitié

sauf erreur de ma part, on obtient

I=\large \int_0^{2\pi} -2\,e^{i(n+p)x}[1-cos{(n-p)x]dx

Posté par
larrech
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 22:28

Bonsoir,

Et je me demande même si ce n'est pas -i(n-p)x en exposant de l'exponentielle.

A vérifier

Posté par
Razes
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 22:31

Bonsoir,

Ne serait ce pas plutôt le module au lieu des parenthèses?

I=\int_0^{2\pi}\left|e^{inx}-e^{ipx} \right|^2dx

Posté par
larrech
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 22:39

Pardon, je rectifie mon post, lire  -i(n+p)x en exposant...

Posté par
Pirho
re : Un calcul d'intégrale 22-06-22 à 23:27

@larrech

e^{i a}-e^{i b}=e^{\dfrac{i(a+b)}{2}}\left[e^{\dfrac{i(a-b)}{2}}-e^{-\dfrac{i(a-b)}{2}}\right]= 2\, i\, sin(\dfrac{a-b}{2})\, e^{\dfrac{i(a+b)}{2}

non?

Posté par
larrech
re : Un calcul d'intégrale 23-06-22 à 08:35

@Pirho

Tu as raison,  j'ai fait le calcul autrement et oublié un signe moins en route, amateur que je suis!

Posté par
Thomasdxb
re : Un calcul d'intégrale 23-06-22 à 08:47

Bonjour,

Oui, c'est ce que trouve après le passage au carré.
Je présume qu'il faut ensuite utiliser la forme trigonométrique de l'exponentielle pour conclure.

Posté par
Pirho
re : Un calcul d'intégrale 23-06-22 à 09:36

commence par remplacer 1-cos(n-p) x   avant d'intégrer

Posté par
Thomasdxb
re : Un calcul d'intégrale 23-06-22 à 09:44

Oui Razes c'est bien le module, désolé je n'avais pas vu la coquille !!!

Posté par
Pirho
re : Un calcul d'intégrale 23-06-22 à 10:29

Thomasdxb @ 23-06-2022 à 09:44

Oui Razes c'est bien le module, désolé je n'avais pas vu la coquille !!!


d'où l'intérêt de bien vérifier son énoncé !

c'est beaucoup plus simple à intégrer

Posté par
Thomasdxb
re : Un calcul d'intégrale 24-06-22 à 15:40

J'avoue



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