bonjour!
Ok AED est isocèle!

par contre la mesure de EDA n'est pas pi/3!
L'angle  EAB mesure pi/3 (angle d'un triangle équilatéral)
donc l'angle DAE mesure pi/6 , car DAB vaut pi/2.
Dans le triangle AED isocèle la somme des angles vaut pi radians et les angles à la base sont égaux.
Donc EDA=DEA= 1/2 de (pi-pi/6)= 5pi/12

HDE vaut bien pi/12 (comment as -tu fait avc l'erreur précédente??????????)

le triangle DEC est isocèle, donc la hauteur issue du sommet principal est médiatrice du côté opposé.......DH= 1/2 de 4 = 2

soit I le milieu de [AB]
HI=4

HE=HI-EI
dans le triangle AEI rectangle en I, EI= AE sin pi/3=4x(rac 3)/2=2(rac 3)
HE=4-2(rac3)

tan(pi/12)=HE/DH ds le triangle DHE rectangle en H
tan(pi/12)=2-(rac3)

Pour le 3, tu remplaces ds la formule.......
je te rappelle que tan pi/12= (sinpi/12)/(cos(pi/12)
voilà qui devrait t'aider à terminer l'exo!
bonne journée!

2)

Angle(DAE) = 90° -  60° = 30°

La somme des angles d'un triangle = 180°.
Dans le triangle AED:

Angle(DAE) + Angle(EDA) + Angle(DEA) = 180°

Et Angle(EDA) = Angle(DEA) puisque le triangle AED est isocèle.

--> 2.Angle(EDA) + Angle(DEA) = 180°

2.Angle(EDA) + 30° = 180°

Angle(EDA)  = 75°

Angle(EDA) = 5.Pi/12
-----

Angle(HDE) = Pi/2 - angle(EDA)
Angle(HDE) = Pi/2 - 5Pi/12
Angle(HDE) = Pi/12
-----
Dans le triangle HDE:
HE est à la fois hauteur, médiane et médiatrice puisque le triangle DEH est isocèle en E.

DH = (1/2).DC = 4/2 = 2 cm

Soit h la hauteur issue de E du triangle ABE, on a:
h = AE.sin(BAE) = 4*sin(60°)
h = 4*(V3)/2 (Avec V pour racine carrée)
h = 2.V3
h + HE = 4
HE = 4 - h
HE = (4 - 2V3) cm
-----
Dans le triangle HDE:
HE = DH.tan(HDE)
4 - 2V3 = 2.tan(Pi/12)
tan(Pi/12) = 2 - V3
--------
3)
1 + tan²x= 1/cos²x

1 + (2 - V3)² = 1/cos²(Pi/12)
1 + 4 - 4V3 + 3 = 1/cos²(Pi/12)
8 - 4V3 = 1/cos²(Pi/12)

cos²(Pi/12) = 1/(8-4V3)
Comme Pi/12 est dans le premier quadrant, cos(Pi/12) est > 0 et on a:

cos(Pi/12) = 1/(V(8-4V3))
cos(Pi/12) = 1/(2.V(2-V3))
cos(Pi/12) = V(2+V3)/(2.V(2-V3).V(2+V3))
cos(Pi/12) = V(2+V3)/(2.V((2-V3).(2+V3)))
cos(Pi/12) = V(2+V3)/(2.V(4-3))
cos(Pi/12) = (1/2).V(2+V3)
---
sin²(Pi/12) + cos²(Pi/12) = 1
sin²(Pi/12) + (1/4).(2+V3) = 1
sin²(Pi/12) = 1 - (1/4).(2+V3)

sin²(Pi/12) = [4 - (2+V3)]/4
sin²(Pi/12) = (2-V3)/4
Comme Pi/12 est dans le premier quadrant, sin(Pi/12) est > 0 et on a:

sin(Pi/12) = (1/2).V(2-V3)
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On a trouvé: cos(Pi/12) = (1/2).V(2+V3)

Or ((V6+V2)/4)² = (1/16).(6 + 2V12 + 2) = (1/16).(8 + 4V3) = (1/4).(2+V3)

et donc (V6+V2)/4 = (1/2).V(2+V3)

--> on  peut aussi écrire: cos(Pi/12) = (V6+V2)/4
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On a trouvé: sin(Pi/12) = (1/2).V(2-V3)

Or ((V6-V2)/4)² = (1/16).(6 - 2V12 + 2) = (1/16).(8 - 4V3) = (1/4).(2-V3)

et donc (V6-V2)/4 = (1/2).V(2-V3)

--> on  peut aussi écrire: sin(Pi/12) = (V6-V2)/4
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Sauf distraction.