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Un cercle a caser pour matheux

Posté par
dami22sui 11-10-07 à 16:38

Salut tout le monde
Un ami m'a demande une formule pour un defi, et j'ai passe 3 heures dessus en vain. Peut-etre l'un des cerveaux de l'ile pourra m'aider...

On travaille avec un plan orthonormal
Soit y=m.x+p une droite quelconque, A(xA,yA) et B(xB,yB) deux points quelconques n'appartenant pas a la droite
m,p,xA,yA,xB,yB sont connus
Soit le cercle tangent a la droite et passant par A et B (je suppose que ce cercle est unique)
Donner les coordonnees xH,yH du centre H de ce cercle et le rayon R de ce cercle
Ces 3 valeurs doivent etre presentees sous la forme R=...  xH=...  yH=...   c'est-a-dire qu'on aura trois grosses formules, une pour chaque inconnue, permettant de calculer directement ces 3 inconnues a partir de m,p,xA,yA,xB,yB

Je rappelle que l'equation d'un cercle est (x-xH)2+(y-yH)2=R2

Voila si vous avez des envies de vous defouler sur un cercle allez-y.
Si possible presentez le plan du raisonnement
D'avance merci
dami22sui

Posté par
dami22suire : Un cercle a caser pour matheux 11-10-07 à 16:39

P.S.
C'est pas urgent, c'est juste si vous avez envie...

Posté par
dami22suire : Un cercle a caser pour matheux 11-10-07 à 18:51

Posté par
cailloux Correcteurre : Un cercle a caser pour matheux 12-10-07 à 00:28

Bonsoir,

On ne nuit pas à la généralité du problème en choisissant pour axe des abscisses la droite (AB) et l' origine du repère en O milieu de [AB]. Les calculs sont un peu plus simples.

Citation :
(je suppose que ce cercle est unique)


Mais il y a, en général, 2 cercles solutions que l' on retrouve algébriquement:
Un cercle a caser pour matheux

H est alors sur l' axe des ordonnées, médiatrice de [AB]: H\|0\\y_0

H est solution si et seulement si d(H,d)=AH où d(H,d) représente la distance de H à la droite (d) donnée d' équation mx-y+p=0:

d(H,d)=\frac{|-y_0+p|}{\sqrt{m^2+1}}

Avec A\|-a\\0 et B\|a\\0, AH^2=a^2+y_0^2

Soit à résoudre l' équation en y_0: \frac{(-y_0+p)^2}{m^2+1}=a^2+y_0^2

y_0^2-2py_0+p^2=(m^2+1)y_0^2+a^2(m^2+1)

m^2y_0^2+2py_0+a^2(m^2+1)-p^2=0 on suppose m\not=0

Equation du second degré en y_0 dont les solutions quand elles existent, (p^2-a^2m^2\geq 0) sont:

y_0=\frac{-p\pm\sqrt{(m^2+1)(p^2-a^2m^2)}}{m^2} qui correspondent aux ordonnées des 2 centres des cercles solutions.

Il reste à calculer les rayons correspondants: AH^2=a^2+y_0^2

Posté par
cailloux Correcteurre : Un cercle a caser pour matheux 12-10-07 à 10:55

Re,

Un petit complément:

p^2-a^2m^2>0 signifie que la droite donnée ne coupe pas le segment [AB]: il y a alors deux cercles solution

p=\pm am signifie que la droite donnée passe par A ou B: il y a alors un cercle solution de centre H(0,-\frac{p}{m^2)} et de rayon R=\frac{\sqrt{a^2m^4+p^2}}{m^2}

p^2-a^2m^2<0 signifie que la droite donnée coupe le segment [AB]: il n' y a pas de solution.

Posté par
dami22suire : Un cercle a caser pour matheux 13-10-07 à 00:32

Ok merci beaucoup cailloux pour ta solution
Je vais chercher un peu plus pour les points quelconques, en me disant que si il faut tout ca pour deux points tres particuliers il en faudra beaucoup plus pour deux points quelconques
Merci encore

Posté par
cailloux Correcteurre : Un cercle a caser pour matheux 13-10-07 à 04:28

Re,

Citation :
Je vais chercher un peu plus pour les points quelconques, en me disant que si il faut tout ca pour deux points tres particuliers il en faudra beaucoup plus pour deux points quelconques


La solution au dessus est pour 2 points absolument quelconques! C' est les choix du repère qui, lui, est particulier. Mais cette solution est générale pour le problème posé.

Posté par
dami22suire : Un cercle a caser pour matheux 13-10-07 à 20:03

Ok
Merci beaucoup pour tes reponses


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