salut

notons c le côté du champ d'oranger et s la surface du champ en friche ...

 Cliquez pour afficher

alors

mais ensuite ...

Bonjour,

avec des dimensions entières (en mm est il précisé)

la plus petite solution est 0
(13*0² + 2*0 = 0²)

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la suivante (celle attendue certainement) est
64800
en effet 13*64800² + 2*64800 = 54587649600 = 233640²

la suivante 109175299200
et après cela dépasse les possibilités d'un tableur

Python dit : 183938762442823200,
puis 309900394841084237836800
522120805028864467313473620000
etc...

13x²+2x = y²
13²x²+2*13x +1 = 13y² + 1
(13x+1)² - 13y² = 1
X² -13y² = 1, équation, de Pell
pour remonter à x, il faut que X 1 [13] ce qui donne une solution sur 4 seulement de l'équation de Pell

Si les dimensions des champs sont entières et strictement positives en mm alors la seule solution semble être:

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64800mm de côté pour le champ d'orangers et 233640mm de côté pour le champ en friche.

Bon ben j'ai été dépassé par mathafou
Bravo

quand on parle d'ajouter des aires et des périmètres, l'unité est forcément indispensable !
sinon le problème n'a absolument aucun sens.

Bonjour
Pour la solution de Pell x²-13y²=1 on a facilement les solutions suivantes. En effet x(n)=649x(n-1)+2340x(n-1) et y(n)=180y(n-1)+649y(n-1)
  avec x(1)=649 et y(1)=180
les notations entre parenthèses sont les indices

Je me suis mélangé "les pinceaux" c'est
x(n)=649x(n-1)+2340y(n-1)  et  y(n)=180x(n-1)+649y(n-1)

Ce exercice m'a  été inspiré par le "carré " de flight..
Comme j'avais mon bidule ,j'ai pensé  à cette histoire...
>LeHibou

J'ai veillé à ce que cela entre....mais loin...

>Litttlefox

Bien sûr    Tu remarqueras qu'en m cela est plausible.

x²-13y²=1 a pour solution "fondamentale" x₁ = 18, y₁ = 5

x_n+1 = 18*x_n + 65*y_n,
y_n+1 = 5*x_n + 18*y_n

ce que tu donnes est un sous ensemble de ces solutions.
(même pas le bon en plus ...)

le bon sous ensemble de l'équation de Pell est celui dont les valeurs de x sont multiples de 13 plus 1

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c'est à dire x₀ = 1, puis x₄ = 842401, x₈ etc
dont la liste est donnée par



(à partir de

Nous cherchons  bien une longueur entière en mm  .

Un petit indice la surface des deux champs réunis est inférieure à 6ha

Il n'y a qu'une solution.

Désolé Dpi , ce ne sont pas des indices que tu donnes mais des données qui manquaient au problème initial

Imod

il n'y a qu'une solution raisonnable

parce que mathématiquement il y a une infinité de solutions.

en rajoutant à l'énoncé une borne maximale, oui, une seule
mais pas la peine de la mettre aussi petite que 6ha !!

un champ de 100 000 km de coté (10¹¹ mm) n'est pas "raisonnable", même si mathématiquement il répond aux conditions.

Vous avez remarqué  dès mon titre qu'il s'agissait d'une "détente"
et non d'un exposé de mathématiques.
Nous sommes dans une fourchette réalisable sinon je n'aurais pas
pris l'exemple d'un champ.
La réponse que j'attendais est celle de Littlefox 64 800 mm soit
64.8  m pour une surface de  4199.04m² pour le champ d'orangers
(pour mémoire la friche mesurant  54 587.6496 m²)

>mathafou

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Je suis surpris que tes solutions ne donnent pas  des valeurs exactes :
(842101  303720 )--->303720.277352....
(233640   842401)--->842101.277349....
alors que:
(64800     233640) est à la fois exact et réaliste.

ne pas confondre mon X = 13x+1 et x ...
ni les coefficients d'une matrice de passage d'une solution à la suivante avec des solutions

et je n'ai jamais prétendu ce que tu dis que j'ai écrit
et il n'y a aucun 842101 nulle part dans ce que j'ai écrit (faute de lecture ou de copie ?)
et je ne comprends pas du tout ce que tu fais avec cette valeur !!
parce que tu n'as pas compris du tout tout ce que j'ai écrit après la 1ère ligne de mon 1er blank

dès le tout début j'ai donné la même solution correcte que les autres

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mathafou @ 22-06-2021 à 09:40

... (dans un blank)
la suivante (celle attendue certainement) est
64800 (mm)
en effet 13*64800² + 2*64800 = 54587649600 = 233640²

Ok
Je n'avais pas noté la première réponse de mathafou  qu'avait
d'ailleurs reconnue  Littlefox.

Moi je trouve que le passage par l'équation de Pell était très bien vu.
Même si je n'ai toujours pas compris comment on résouds ces équations

J'ai vu des fractions continues, la Méthode chakravala, wolfram me donne une forme ((a+bsqrt(c))^n + (a-bsqrt(c))^n)/2.

Bref, un peu perdu ^^

"J'ai vu des fractions continues, la Méthode chakravala"

mais ici pour trouver la solution fondamentale de X² - 13y² = 1 la force brute est quasiment aussi efficace (18 essais au lieu de 5 tours de roue si on optimise, le gain n'est pas gigantesque !)

le reste c'est l'aspect théorique d'obtenir toutes les solutions de cette équation
vu que la solution fondamentale ne convient pas au problème et qu'il faut en chercher les autres
par les formules de récurrence linéaire (ou écrites sous forme matricielle)
les formules en racines carrées sont de peu d'intérêt pratique en fait.

s'il y a bien quelque chose à retenir la dedans c'est bien la correspondance entre équations quadratiques et récurrences linéaire (d'ordre 2) !

que l'on démontre cette théorie est une chose, mais dans la pratique on ne redémontre pas tout à chaque fois !
on utilise les résultats théoriques (les plus pratiques à utiliser)

résumé (ce qu'il y a en retenir) :

L'équation x² - Dy² = 1, en nombres entiers, D non carré parfait, a une infinité de solutions :

la solution triviale x₀ =1, y₀ = 0
la plus petite non nulle (y 0) appelée solution fondamentale x₁, y₁
(d'aucuns l'appellent x₀, y₀ et jettent à la poubelle la solution triviale, dommage)

et toutes les autres s'obtiennent par récurrence à partir de cette solution fondamentale :



que l'on peut écrire sous forme d'un produit matriciel :



et ainsi que si on s'intéresse à une seule des deux inconnues les récurrences "d'ordre 2" :



La recherche de la solution fondamentale se fait par force brute (voire parfois de tête)
et sinon par des algorithmes plus efficaces mais bien plus complexes, dont la justification théorique n'est à lire qu'une fois dans sa vie et à oublier ensuite
on garde juste dans un coin le programme écrit une fois pour toutes, avec D en paramètre, qui traduit ces algorithmes.

Merci mathafou pour ces informations très intéressantes.

Je n'ai vu nulle part dans la page wikipédia sur l'équation de Pell-Fermat la formule de récurence que tu donnes ici.

L'article s'attache entièrement à la solution fondamentale et suppose les méthodes pour trouver les autres solutions déjà maitrisées.

J'aimerais juste comprendre une fois

Si je suis bien, la solution fondamentale de est .

La solution donne et non . Mais bizarrement (ça se démontre), si alors . Ça permet de retomber sur ses pattes si on trouve un tel que soit un carré 1.

X doit dans notre cas être congru à 1 modulo 13. Or les oscillent entre -1 et 1 modulo 13 (ça se prouve? y quand à lui semble passer par les 13 restes modulo 13).

La récurence pour X modulo 13 s'écrit . D'où cette oscillation.

La récurence d'ordre 2 que tu donnes ne semble pas marcher dans le cas mais bien dans celui .

En tout cas, merci mathafou, j'ai pu avancer grâce à toi

tu as parfaitement raison

j'ai lu trop vite le résultat de mon programme qui donne les solutions pour -1 et +1 et je me suis trompé de ligne
comme quoi il y en a qui suivent ! bien vu.
(et en accusant derny d'erreur c'est en fait moi qui la faisait, l'erreur, mes plus plates excuses)

les calculs sont à reprendre "un peu" numériquement
le principe étant exactement le même
et le résultat aussi :
vu qu'il s'agit de prendre un résultat sur deux de l'équation avec -1 pour avoir ceux avec +1
et comme on ne garde qu'un résultat sur 4 de l'ancien calcul (avec -1) , c'est la même chose que un résultat sur deux du nouveau (avec +1) vu que 4 = 2x2

je vais refaire un calcul complet correct ..

Détail de la méthode algébrique pour trouver toutes les solutions (réalistes ou pas)
(correction, recopie et regroupement de posts précédents + détails qui étaient omis car inutiles à ceux "qui savent")
je blanque car c'est (très) long et c'est plutôt pour raccourcir le message
liront seulement ceux intéressés par ces détails et "la théorie"

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"13 fois sa surface ajoutée à son demi-périmètre était égale à la surface du champ en friche."
(je change mes notations pour éviter de confondre x et X)
soit c le coté en mm du champ d'oranger et y celui du champ en friche
cela donne
13c² + 2c = y²
on peut balancer ça tel quel dans un solveur d'équations en nombres entiers et basta
ou utiliser la force brute d'un tableur ou d'un algorithme brut
à l'époque de Fermat, de Lagrange etc il n'y avait pas d'ordinateur

donc raisonnons.
par changements de variable on va se ramener à une équation plus simple
dans le même genre que pour résoudre une équation du second degré on se ramène à X² = constante via la forme canonique

le problème ici est que la forme canonique de 13c² + 2c fait intervenir des non entiers
qu'à cela ne tienne, en multipliant tout par 13 ça colle :

13(13c² + 2c) = 13y²
(13c+1)² - 1 = 13y²
et en posant X = 13c + 1
X² - 13y² = 1

cette forme d'équation bien connue a été étudiée par Fermat et des anglais (Wallis etc), des indiens ("la roue" chakravala) et porte le nom d'équation de Pell-Fermat
Fermat aimait poser des colles à ses correspondants
dans une lettre à Frenicle en 1657 il lui proposait de résoudre x² - 61y² = 1
non sans perfidie car la plus petite solution (non nulle, autre que x=1, y=0) est x = 2766319049, y = 226153980
(à une époque sans machines à calculer)

revenons à notre équation X² - 13y² = 1

Les développements théoriques sur ces équations de la forme X² - D Y² = +1, D non carré (et même sans facteurs carrés que l'on pourrait intégrer dans le Y²) affirment (on ne fera pas les démonstrations, se reporter à la littérature) :
outre la solution triviale X = 1, Y = 0, elles admettent une infinité de solutions
soit x₁, y₁ la plus petite d'entre elles, appelée "solution fondamentale"
alors toutes les solutions sont obtenues par récurrence linéaire avec les formules



que l'on peut écrire sous forme d'un produit matriciel :



il nous faut donc trouver déja la solution fondamentale de X² - 13y² = +1
comme elle est "petite" (contrairement à la perfide équation avec D = 61), elle peut se trouver "par force brute"
même s'il existe des méthodes plus efficaces ("Méthode anglaise" de Wallis et Brouncker, chakravala, algorithme de Lagrange ...)

dans le cas où la solution de x² - Dy² = -1 existe, on peut s'arrêter là car la solution de x² - Dy² = +1 peut s'en déduire avec les mêmes formules de récurrences qui donnent alors alternativement les solutions avec -1 et avec +1

ainsi x = 18, y = 5 est solution de x² - 13y² = -1 (si force brute, en balayant y = 1, 2, 3, 4, 5 et pas en balayant x, bien entendu)
et alors la solution fondamentale de x² - 13y² = +1 est obtenue en appliquant la récurrence (une seule fois) :
ce qui évite de balayer jusqu'à y = 180 par force brute



et donc toutes les solutions (de x² -13 y² = +1) sont, sous forme matricielle


(ça redonne bien x₁ = 649, y₁ = 180 et ça correspond à ce que disait derny)
puis


etc

j'insiste pour ceux qui auraient perdu le fil qu'il s'agit des solutions de X² - 13y² = 1 !!
pas de 13c² + 2c = y²

malheureusement x₁ = 649 = 13c + 1 ne donne pas c entier
il faut donc utiliser des solutions x_n de l'équation de Pell qui soient de la forme 13c + 1 et jeter les autres.
c'est à dire les
on peut faire ça "directement" sur les solutions précédentes (de l'équation de Pell !) et voire que à ce stade x₂ = 842401 convient
et la plus petite solution de 13c² + 2c = y² est c = (x₂ - 1)/13 = (842401 - 1)/13 = 64800

mais poursuivons pour en trouver d'autres (et ainsi prouver qu'elles sont trop grandes)
la récurrence sur (x_n, y_n) peut aussi s'écrire avec x seulement :


soit modulo 13 :


on a ainsi : (tous les nombres < 12*11+12 = 144)



on retrouve que la plus petite solution sur c est pour x = x₂

quant aux solutions suivantes :
on obtient une périodicité de 2
périodicité démontrée car on obtient les mêmes paires de restes (x_n+1, x_n) donc fatalement les mêmes restes de x_n+2

et donc :
les solutions convenables (de l'équation de Pell !!) sont les x_2k

c'est à dire sous forme matricielle :


ou encore :


on retrouve bien la plus petite solution avec x₂ = 842401, y₂ = 233640 qui donne c = 64800 (y = 233640)

la suivante est x₄ = 842401 x₂ + 3037320 y₂ = 842401*842401 + 3037320*233640 = 1419278889601
qui donne c = (1419278889601 - 1)/13 = 109175299200
environ 10¹¹ mm = 10⁵ km !! irréaliste de même que les suivantes encore plus grandes

Bonjour,

Mon niveau est assez modeste.
*Idée de l'exercice <---> flight "carrés"
*quel cas concret puis-je poster en "détente" en profitant de mon
tableur paramétré ?
*trouver une solution unique réaliste  .
En deux minutes l'affaire était faite.

moi j'aurais plutot dit une solution réaliste unique que une solution unique réaliste

parce que "une solution unique réaliste" veut dire que la solution (réaliste OU PAS) est unique
et que cette solution unique est réaliste
alors que ici c'est faux :
il y a une infinité de solutions irréalistes

bon, tu vas te justifier en disant que l'intersection des solutions réalistes et des solutions tout court est la même chose que l'intersection des solutions tout court et des solutions réalistes
(que A et B est identique à B et A) ...

de plus ton tableur saurait il résoudre en un temps et espace raisonnable le problème du même genre

61c² + 2c = y²

(je sais être aussi perfide que Fermat, bien que séparé de mes sources livresques qui donnent des valeurs encore plus perfides )

Bonjour
Je reviens furtivement
mathafou, ton message du 22 à 13h32 m'était adressé je suppose.
Avant de dire que j'avais faux c'est toi qui a faux. Je connais les valeurs que tu donnes, mais c'est pour -1 et pas pour 1. Tu aurais pu quand même t'en excuser.
Sans rancune.

Bonjour derny
je te trouve bien polémique...peut-être ne pas oublier que nous sommes dans le forum détente
qu'a écrit mathafou ici ?

mathafou @ 23-06-2021 à 17:58

tu as parfaitement raison

j'ai lu trop vite le résultat de mon programme qui donne les solutions pour -1 et +1 et je me suis trompé de ligne
comme quoi il y en a qui suivent ! bien vu.
(et en accusant derny d'erreur c'est en fait moi qui la faisait, l'erreur, mes plus plates excuses)

à ma faute j'aurais du mettre ces excuses en dehors du blank.
(vu que mon message erroné accusateur à tort était non blanqué)

ah non, tiens c'est bien non blanqué

Tu t'étais bien excusé mathafou

En tout cas merci pour tous ces détails. Ça a dû être long à écrire, j'en suis désolé. Mais j'ai beaucoup appris

>mathafou

Les deux qualificatifs sont interchangeables.
Je me suis exprimé ainsi car soit je trouvais des paramètres sans
solution soit  à solutions multiples ,comme j'avais préalablement
défini que ce serait des champs et que je voulais une solution réaliste
mais relativement lointaine ,j'ai fait ce choix il ne me restait
plus qu'à définir l'unité:ici le mm.

La prochaine fois j'irai me promener au lieu d'animer.

Merci Malou.

à dpi
mais non, mais non
tes "énigmes " comme celles de tous les participants seront toujours les bienvenues !

et de la discussion sur un énoncé pas forcément clair au départ nait la clarté

"soit je trouvais des paramètres sans solution"
ça dépend de l'outil utilisé, un tableur travaille avec des nombres "entiers" limités car ce sont en fait des nombres toujours en virgule flottante ("réels") dont la mantisse tient sur la taille des "mots" binaires utilisés en interne (par le matériel en fait)

Donc avec un tableur tu cherches avec des nombres d'abord réalistes (< la taille max) et secondairement parmi ces nombres là ceux qui sont des solutions éventuelles
d'où mon distinguo sur l'ordre de termes

de plus par force brute (réellement brute par balayage des valeurs de c une à une) en Python par exemple qui travaille avec des nombres entiers de taille illimitée,
la première solution est obtenue "presque immédiatement " :
c = 64800 y = 233640 in 0.188 s
les suivantes je les attends encore, temps estimé de l'ordre de 8 heures, sauf erreur de programmation (passage en virgule flottante limitée intempestif)

donc il faut être très prudent en disant "pas de solution" ou "pas d'autre solution"

Bonjour dpi
tu as tout à fait le droit d'aller te promener, ....mais pas trop souvent quand même...
Tu fais partie de ceux qui, avec bonne humeur anime ce forum, et ce serait bien dommage que tout cela n'existe plus.
Continuez à bien vous amuser cela contribue à une agréable ambiance sur ce site
Bonne journée à tout le monde

Bonjour
Je vous prie de m'excuser car je n'avais pas vu, justement les excuses de mathafou.
Au sujet des équations de Pell-Fermat, l'équation x² - Ay² = -1 n'a pas toujours de solution. Il y a "très longtemps", avant l'ordinateur, j'avais calculé pas mal de ces équations. Solutions basées sur la périodicité du développement de racine de A en fraction continue. Pas simple et je ne saurais plus faire à présent... Les ordinateurs nous facilitent bien le travail à présent.