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Un corps possède deux idéaux

Posté par
KrnT
10-10-21 à 10:53

Bonjour/Bonsoir,
Il est dit que les seuls idéaux d'un corps sont {0} et le G en question
mais je n'arrive pas a y voir clair au niveau des propriétés d'un idéal,
tout ce que je sais d'un idéal c'est que c'est un groupe abélien pour la loi + et qu'il est absorbant et c'est ça qui m'empêche de bien assimiler la démonstration :
Montrons qu'à part le singleton 0 le seul corps de (|K,+,x) est bien |K:
I idéal de K tq I différent du singleton 0
donc il existe un x appartenant à I tq x différent de 0
or K est un corps de x est inversible ainsi I contient un inversible donc I=|K .

Je sais que le but est de montrer que le I admet un inversible ou l'élément unitaire pour la loi*. Pour moi un idéal est un ensemble  caractérisé par sa stabilité par rapport à la loi + donc il peut ne pas contenir d'élément inversible pour la loi * dans I.
Merci de m'éclairer pourquoi cet ensemble malgré qu'on le fait qu'on ne dise rien de sa stabilité par rapport à la loi * admet bel et bien un inversible par rapport à *

Posté par
carpediem
re : Un corps possède deux idéaux 10-10-21 à 11:05

salut

un corps est déjà et avant tout un anneau ...

dans tout anneau A on peut donc considérer l'idéal I = <x> engendré par x

évidemment si x = 0 alors I = {0}

sinon si x est inversible ben alors I = A puisque I contient 1

maintenant si A est un corps ben tout élément est inversible ...

Posté par
KrnT
re : Un corps possède deux idéaux 10-10-21 à 11:34

Je crois avoir compris, je croyais qu'il fallait que ce même x soit inversible dans l'idéal alors qu'il faudrait juste qu'il soit inversible dans le corps pour pouvoir faire :
quelque soit a appartenant à |K quelque soit x appartenant à I
comment x est inversible dans |K alors il existe un x-1 appartenant à |K tql x-1x appartient à I donc l'élément appartient à I . Merci beaucoup

Posté par
carpediem
re : Un corps possède deux idéaux 10-10-21 à 12:02

un idéal (propre) n'est jamais un sous-anneau sinon il contient 1 ... donc est l'anneau entier ...

donc quand on parle d'élément inversible c'est évidemment dans l'anneau tout entier ...

et donc un idéal propre d'un anneau ne contient jamais un inversible ...

Posté par
jsvdb
re : Un corps possède deux idéaux 11-10-21 à 18:43

Bonjour
Petit rafraichissement pour ma mémoire : pour qu'un anneau commutatif soit sans idéal propre, il faut et il suffit que ce soit un corps. C'est ça ou il y a un truc à rajouter ?

Posté par
carpediem
re : Un corps possède deux idéaux 11-10-21 à 18:47

non il me semble que c'est ça ...

Posté par
GBZM
re : Un corps possède deux idéaux 11-10-21 à 19:02

Bonsoir,

Deux petites remarques :
Dans un anneau non trivial, l'idéal nul est toujours un idéal propre.
L'anneau trivial n'a pas d'idéal propre, et ce n'est pas un corps.

Posté par
jsvdb
re : Un corps possède deux idéaux 11-10-21 à 19:21

Ah oui : {0} et A sont des idéaux triviaux et un idéal propre est un idéal qui n'est pas l'anneau tout entier.

Donc c'est : un anneau commutatif non trivial (donc qui contient au moins 0 et 1 avec 0 1) est un corps sssi il n'a pas d'idéaux non triviaux.

Merci pour vos réponses et précisions

Posté par
GBZM
re : Un corps possède deux idéaux 11-10-21 à 19:29

On en revient au sujet du fil : un corps est un anneau commutatif qui possède exactement deux idéaux (pas un seul, pas plus de deux).



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