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Un couple se suites (récurrence et limite)

Posté par
pzorba75
19-09-21 à 16:37

Bonjour,
(u) et (v) sont définies sur N par u_0=1 et v_0=1 et pour tout entier naturel n par :
- si \left(\dfrac{u_n+v_n}{2}\right)^2\le 2 alors u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2} et v_{n+1}=v_n;
- si  \left(\dfrac{u_n+v_n}{2}\right)^2>2 alors u_{n+1}=u_n et v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2} .
J'ai démontré que la suite w=v-u est géométrique de raison  1/2 , que la suite (u) est croissante et que la suite (v) est décroissante.
Je bloque pour rédiger la convergence des suites (u) et (v) et pour démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :  u_n^2\le 2\le  v_n^2.
La suite (w) tend vers 0, donc les suites (u) et (v) ont la même limite.
Avec le tableur, on conjecture que les suites admettent \sqrt{2} pour limite.
Je remercie d'avance pour l'aide qui sera apportée pour terminer cet exercice.

malou edit> ** en Ltx : \le te donne  \le  **

Posté par
pzorba75
re : Un couple se suites (récurrence et limite) 19-09-21 à 18:25

Je ne vois pas comment éditer mon message pour rectifier les signes <=. Est-ce possible avec mon profil?

malou edit > ** tu ne peux pas, je te l'ai fait **

Posté par
manu_du_40
re : Un couple se suites (récurrence et limite) 19-09-21 à 23:05

Bonsoir, es-tu sûr de la valeur de v_0 ?
Car dans ce cas, j'ai du mal à croire que (v) soit décroissante et tende vers \sqrt{2}.
De plus, comme w=u-v, cela signifierait que (w) est la suite nulle ce qui est difficile à croire.

Pour ton problème de convergence, tu as montré que (u) et (v) sont monotones. Peut-être peux-tu majorer / minorer ces suites pour montrer qu'elles convergent ?

Posté par
pzorba75
re : Un couple se suites (récurrence et limite) 20-09-21 à 05:03

Désolé mais v_0=2
Je peux montrer que (u) est majorée par 3 et (v) est minorée par 0, je ne sais pas si cela est correct? Ensuite, l'application du théorème sur la convergence peut suffire.

Posté par
Yzz
re : Un couple se suites (récurrence et limite) 20-09-21 à 06:52

Salut,

Tu peux montrer que (wn) est positive, donc vn >= un pour tout n.
A utiliser (avec les variations) pour majorer/minorer vn et un.

Posté par
pzorba75
re : Un couple se suites (récurrence et limite) 20-09-21 à 11:31

Avec v_n>u_n, je peux majorer u_n par 2 et minorer v_n par 1 ce qui suffit pour démonter la convergence des deux suites.
Après, je reste bloqué pour passer des encadrements de u_n et de v_n à l'encadrement à démontrer par récurrence.

Posté par
larrech
re : Un couple se suites (récurrence et limite) 20-09-21 à 17:30

Bonjour,

On suppose, hypothèse de récurrence, qu'il existe n pour lequel u_n^2\leq 2 \leq v_n^2

Deux possibilités :

- soit \left(\dfrac {u_n+v_n}{2}\right)^2\leq 2 et alors comme u_{n+1}=\dfrac {u_n+v_n}{2} et v_{n+1}=v_n, on a encore  u_{n+1}^2\leq 2 \leq v_{n+1}^2

-soit  \left(\dfrac {u_n+v_n}{2}\right)^2> 2 et alors, comme  u_{n+1}=u_n et v_{n+1}=\dfrac {u_n+v_n}{2} on a toujours u_{n+1}^2\leq 2 \leq v_{n+1}^2

Mais ça me paraît tellement simple que je n'ai peut-être pas bien compris la question.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un couple se suites (récurrence et limite) 22-09-21 à 10:16

Bonjour,
Je suis d'accord avec toi larrech
Quant à comprendre la question, pas évident dans la mesure où nous n'avons pas l'énoncé recopié de manière précise avec la succession des questions.
Cet encadrement permet de démontrer que les suites convergent et qu'elles convergent vers 2.

Posté par
larrech
re : Un couple se suites (récurrence et limite) 22-09-21 à 10:23

Bonjour Sylvieg

Oui, c'est ce que je sous-entendais, avoir l'énoncé complet pour voir l'enchaînement des questions.



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