salut
1.déterminer tous les polynomes P du 2nd degre tq:
pour tt x de , P(x+1)-p(x)=x
2.préciser celui qui s'annule en 1. on l'appelle f
3.demontrer que
pour tout entier naturel n, 1+2+...+(n-1)=n=f(n+1)
on pensera que f(n+1)-f(n)=... et f(n)-f(n-1)=... etc
4.on note =1+2+...+(n-1)+n pour n entier naturel non nul.
en déduire en fonction de n.
j'ai fais la une et la deux mais pour les deux autre je ne vois pas :
1. P(x)=ax²+bx+c
P(x+1)= a(x+1)²+b(x+1)+c
= ax²+2ax+a+bx+b+c
P(x+1)-P(x)=ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c
=2ax +(a+b)
l'ennoncé dit : P(x+1)-P(x)=x
donc par identification
2a=1 a=
a+b=0 b=
les polynomes du 2nd degre tq.... sont
P(x)=
avec c
2.f s'annule en 1 donc 1 est racine
P(1)=0
P(x)=1/2x²-1/2x+c
P(1)=1/2-1/2+c
P(1)= c
donc c=0
donc f(x)=
mais pour la 3 et 4 je ne sais pas.
sauf 3.
f(n+1)-f(n)= n et
f(n)-f(n-1)= n-1
merci de votre aide
erreur de frappe desole ce n'est pas du multipost
1.déterminer tous les polynomes P du 2nd degre tq:
pour tt x de , P(x+1)-P(x)=x
2.préciser celui qui s'annule en 1. on l'appelle f
3.demontrer que
pour tout entier naturel n, 1+2+...+(n-1)+n=f(n+1)
on pensera que f(n+1)-f(n)=... et f(n)-f(n-1)=... etc
en écrivan tles egalites les unes en dessous des autres
4.on note =1+2+...+(n-1)+n pour n entier naturel non nul.
en déduire en fonction de n.
j'ai fais la une et la deux mais pour les deux autre je ne vois pas :
1. P(x)=ax²+bx+c
P(x+1)= a(x+1)²+b(x+1)+c
= ax²+2ax+a+bx+b+c
P(x+1)-P(x)=ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c
=2ax +(a+b)
l'ennoncé dit : P(x+1)-P(x)=x
donc par identification
2a=1 a=
a+b=0 b=
les polynomes du 2nd degre tq.... sont
P(x)=
avec c reel
2.f s'annule en 1 donc 1 est racine
P(1)=0
P(x)=1/2x²-1/2x+c
P(1)=1/2-1/2+c
P(1)= c
donc c=0
donc f(x)=
mais pour la 3 et 4 je ne sais pas.
sauf 3.
f(n+1)-f(n)= n et
f(n)-f(n-1)= n-1
merci de votre aide
et j'espere ne pas avoir fais d'erreur de frappe
salut pour la 3 tu es sur la bonne voie,
mais il faut aller au bout des choses :
f(n+1)-f(n)=n
f(n)-f(n-1)=n-1
f(n-1)-f(n-2)=n-2
....
f(3)-f(2)=2
f(2)-f(1)=1
fait la somme de ces n egalites et on obtient
1+2+...n-1+n=f(n+1)-f(1)=f(n+1)
la 4 est une application directe de 2 et 3
Sn=f(n+1)=(1/2)*((n+1)^2-(n+1))=(1/2)*(n+1)*n
Remarque : Sn est la somme des n premiers termes
de la suite arithmetique de raison 1 et de premier
terme 1.
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