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un début pour les suites

Posté par surfer13 (invité) 25-09-04 à 14:43

salut

1.déterminer tous les polynomes P du 2nd degre tq:
pour tt x de , P(x+1)-p(x)=x
2.préciser celui qui s'annule en 1. on l'appelle f
3.demontrer que
pour tout entier naturel n, 1+2+...+(n-1)=n=f(n+1)
on pensera que f(n+1)-f(n)=... et f(n)-f(n-1)=... etc
4.on note S_n=1+2+...+(n-1)+n pour n entier naturel non nul.
en déduire S_n en fonction de n.

j'ai fais la une et la deux mais pour les deux autre je ne vois pas :

1.  P(x)=ax²+bx+c
    P(x+1)= a(x+1)²+b(x+1)+c
          = ax²+2ax+a+bx+b+c

P(x+1)-P(x)=ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c
           =2ax +(a+b)

l'ennoncé dit : P(x+1)-P(x)=x
donc par identification
2a=1        a=\frac{1}{2}
a+b=0       b=\frac{-1}{2}

les polynomes du 2nd degre tq.... sont
P(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+c
avec c

2.f s'annule en 1 donc 1 est racine
  P(1)=0
  P(x)=1/2x²-1/2x+c
  P(1)=1/2-1/2+c
  P(1)= c
donc c=0
donc f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x

mais pour la 3 et 4 je ne sais pas.
sauf 3.
f(n+1)-f(n)= n et
f(n)-f(n-1)= n-1

merci de votre aide







Posté par surfer13 (invité)re : un début pour les suites 25-09-04 à 14:51

erreur de frappe desole ce n'est pas du multipost

1.déterminer tous les polynomes P du 2nd degre tq:
pour tt x de , P(x+1)-P(x)=x
2.préciser celui qui s'annule en 1. on l'appelle f
3.demontrer que
pour tout entier naturel n, 1+2+...+(n-1)+n=f(n+1)
on pensera que f(n+1)-f(n)=... et f(n)-f(n-1)=... etc
en écrivan tles egalites les unes en dessous des autres
4.on note S_n=1+2+...+(n-1)+n pour n entier naturel non nul.
en déduire S_n en fonction de n.

j'ai fais la une et la deux mais pour les deux autre je ne vois pas :

1.  P(x)=ax²+bx+c
    P(x+1)= a(x+1)²+b(x+1)+c
          = ax²+2ax+a+bx+b+c

P(x+1)-P(x)=ax²+2ax+a+bx+b+c-ax²-bx-c
           =2ax +(a+b)

l'ennoncé dit : P(x+1)-P(x)=x
donc par identification
2a=1        a=\frac{1}{2}
a+b=0       b=-\frac{1}{2}

les polynomes du 2nd degre tq.... sont
P(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+c
avec c reel

2.f s'annule en 1 donc 1 est racine
  P(1)=0
  P(x)=1/2x²-1/2x+c
  P(1)=1/2-1/2+c
  P(1)= c
donc c=0
donc f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x

mais pour la 3 et 4 je ne sais pas.
sauf 3.
f(n+1)-f(n)= n et
f(n)-f(n-1)= n-1

merci de votre aide
et j'espere ne pas avoir fais d'erreur de frappe

Posté par minotaure (invité)re : un début pour les suites 25-09-04 à 17:13

salut pour la 3 tu es sur la bonne voie,
mais il faut aller au bout des choses :
f(n+1)-f(n)=n
f(n)-f(n-1)=n-1
f(n-1)-f(n-2)=n-2
....
f(3)-f(2)=2
f(2)-f(1)=1

fait la somme de ces n egalites et on obtient
1+2+...n-1+n=f(n+1)-f(1)=f(n+1)

la 4 est une application directe de 2 et 3
Sn=f(n+1)=(1/2)*((n+1)^2-(n+1))=(1/2)*(n+1)*n

Remarque : Sn est la somme des n premiers termes
de la suite arithmetique de raison 1 et de premier
terme 1.



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