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Un défilé au cordeau

Posté par
littleguy
17-03-16 à 18:05

Bonjour,

A l'occasion d'un défilé le chef de file d'un groupe de seize hommes (lui compris) propose à son supérieur la disposition suivante :

Un défilé au cordeau

Et il explique :

     - j'ai attribué à chacun un numéro. J'ouvrirai seul le défilé en tant que numéro 1, et j'ai attribué à chacun une place comme vous pouvez le voir.
    - C'est parfait, lui répond son supérieur, mais pourquoi tous ces traits ?
    - Juste pour leur montrer comment s'aligner parfaitement.
    - Mais il n'y a pas de trait entre le 3 et le 4 ?
    - Deux points sont toujours alignés Monsieur.

Le lendemain, le supérieur, un tantinet vexé,  montre au chef de groupe le graphique qu'il s'est permis de compléter :

Un défilé au cordeau

    - Voyez, j'ai fait la somme pour chacune de vos lignes et j'ai marqué les neuf résultats.
    - Oui… ?
    - Eh bien j'aimerais que vous ne changiez rien à la disposition générale, vous gardez votre place en tête du groupe, mais que les quinze hommes permutent leurs places de telle sorte que les neuf sommes soient égales.
    - Ah !... Et pourquoi Monsieur ?
    - Pour que ça tombe juste en quelque sorte, mon ami, simple souci d'esthétisme.

Vous êtes le chef du groupe. Proposez à votre supérieur une disposition qui lui convienne ou dites-lui que c'est impossible.

A vous.

Posté par
trapangle
re : Un défilé au cordeau 17-03-16 à 18:57

perduBonjour,

Ça dépend de ce qu'on entend par "les quinze hommes permutent leur place". On peut comprendre soit que chacun des quinze hommes doit changer de place, soit qu'au moins deux hommes parmi les quinze doivent changer de place. Je distingue les deux cas :

1. Au moins deux hommes parmi les quinze doivent changer de place. Il y a une seule solution : 2 et 3 permutent leurs places et 15 et 16 permutent aussi leurs places. De cette manière les sommes restent identiques.

2. Il faut que chacun des quinze hommes change de place. Il n'y a pas de solution parce que :
Sur la ligne horizontale du bas, le total 70 ne peut être obtenu qu'en additionnant les cinq valeurs les plus élevées (de 12 à 16).
De même, sur la deuxième ligne horizontale, le total 38 ne peut être obtenu qu'en additionnant les quatre valeurs les plus élevées parmi celles qui restent à placer.
Encore de même, la première ligne horizontale doit contenir 5, 6 et 7.

Si on force tous les nombres à changer de place, 7, 11 et 16 doivent aussi changer de place. Les valeurs maximales par lesquelles ils peuvent être remplacés sont respectivement 6, 10 et 15 (pris parmi les nombres qui doivent être sur leurs lignes horizontales). Sur la ligne du côté droit, même en mettant 3 à la place de 2, le total maximum qu'on peut obtenir devient 38 au lieu de 40, c'est donc impossible.

Merci, bonne soirée !

Posté par
Nofutur2
re : Un défilé au cordeau 17-03-16 à 21:10

perduOn trouve rapidement que la somme de chaque groupe de 3 points aux pointes du triangle doit être égale à 135-3S. (avec S =somme à chercher).
On trouve aussi que la somme des 6 chiffres centraux est égale à 9S-270...
De plus, on sait que les chiffres des sommes de 3 points (ex: 5+6+7) sont plus élevés que ceux des sommes à 5 points (ex : 2+4+7+11+16).
Ces considérations permettent de réduire la recherche, la somme S étant telle que 33<S<39, les petits chiffres aux extrémités, les grands au centre.
Je ne trouve pas de solution qui réponde à la question.
J'en conclus (un peu vite peut être) que le problème n'a pas de solution....

Posté par
masab
re : Un défilé au cordeau 17-03-16 à 22:33

gagnéBonjour littleguy,

Voici une disposition convenant au chef de groupe

ligne 1 : [1]
ligne 2 : [9]
ligne 3 : [4, 5]
ligne 4 : [11, 15, 13]
ligne 5 : [7, 16, 14, 2]
ligne 6 : [8, 3, 12, 6, 10]

Merci pour cette énigme d'algèbre linéaire.

Posté par
trapangle
re : Un défilé au cordeau 18-03-16 à 06:23

perduJe suis allé trop vite, j'ai pensé que les neuf sommes devaient être égales à leurs valeurs respectives sur le premier schéma, or il fallait comprendre que les neuf sommes doivent être égales entre elles.

Dans ce cas, il y a douze solutions qui sont toutes des symétries d'une de ces deux solutions :

Un défilé au cordeau

Posté par
masab
re : Un défilé au cordeau 18-03-16 à 08:41

gagnéIl y a exactement 2 solutions à rotations et symétries  près du grand triangle équilatéral.
A savoir

1ère solution
ligne 1 : [1]
ligne 2 : [9]
ligne 3 : [4, 5]
ligne 4 : [11, 15, 13]
ligne 5 : [7, 16, 14, 2]
ligne 6 : [8, 3, 12, 6, 10]

2ème solution
ligne 1 : [1]
ligne 2 : [9]
ligne 3 : [2, 7]
ligne 4 : [13, 15, 11]
ligne 5 : [5, 14, 16, 4]
ligne 6 : [10, 3, 12, 6, 8]

Si l'on ne tient pas compte des rotations et des symétries, il y a donc 12 solutions.
Voilà !

Posté par
dpi
re : Un défilé au cordeau 18-03-16 à 10:20

perduBonjour,

Le supérieur n'a aucune idée de sa bêtise.

Au rez-de chaussée (de le pyramide) les 5 nombres sont
nécessaires pour obtenir 70 le plus petit à gauche ne pouvant
être que 13.
Au premier étage  qui doit totaliser 38 le plus petit nombre
à gauche ne pourra être que 9.
Observons le total des chiffres de gauche ,il nous reste 30-(13+9)=8
à trouver or 3  est impératif donc il reste 5 pour les deux derniers avec
1 (le chef ) déjà mobilisé.
Donc la mission est impossible

Posté par
pondy
re : Un défilé au cordeau 18-03-16 à 12:19

gagnébonjour littleguy
voici une disposition qui convient: (ce n'est pas  la seule)

Un défilé au cordeau

Posté par
geo3
re : Un défilé au cordeau 18-03-16 à 20:00

perduBonsoir
Je pense que c'est impossible
A+

Posté par
manitoba
re : Un défilé au cordeau 18-03-16 à 22:00

perduBonsoir LittleGuy,

Impossible

Un défilé au cordeau

Posté par
franz
re : Un défilé au cordeau 18-03-16 à 22:55

perduLa disposition est la suivante :

Un défilé au cordeau

Posté par
royannais
re : Un défilé au cordeau 19-03-16 à 09:16

gagné      Encore une énigme très amusante, merci. je propose la disposition suivante pour un total de 39

              
                                                  1

                                                   9

                                        2                    7

                              13               15                 11

                    5                  14                16                     4

          10               3                   12                     6                     8

Posté par
rschoon
re : Un défilé au cordeau 19-03-16 à 23:32

gagnéBonjour à tous.

Voir ma réponse ci-dessous.

Merci pour l'énigme.

Un défilé au cordeau

Posté par
pondy
re : Un défilé au cordeau 20-03-16 à 13:09

gagnéune autre solution
A partir de cette solution et de celle montrée dans ma première réponse, on en déduit 10 autres par des symétries (ou rotations)
Donc 12 solutions en tout.
Une remarque:
A partir de la disposition de l'énoncé, si on permute le 2 et le 3 ainsi que le 15 et le 16, les sommes restent inchangées.
Cordialement

Un défilé au cordeau

Posté par
LittleFox
re : Un défilé au cordeau 21-03-16 à 11:47

gagné
Je propose la disposition suivante (avec chaque somme = 39):


            1
            8
          4   6
       11  16  12
      7  15  14   3
    9   2  13   5  10


Il n'y a que deux solutions (avec les symétries il y en a 12), l'autre étant :

            1
            8
          7   3
       11  16  12
      4  15  14   6
    9   5  13   2  10

Posté par
torio
re : Un défilé au cordeau 21-03-16 à 14:11

gagnéPour des sommes de 39

Un défilé au cordeau

Posté par
plilvor
re : Un défilé au cordeau 24-03-16 à 17:04

gagnébonjour,

je propose

                              8
                        4          6
                11       16       12
           7         15       14       3
    9          2         13         5       10

chaque rangée ayant un total de 39

Cordialement

Posté par
carita
re : Un défilé au cordeau 25-03-16 à 10:31

perdubonjour Littleguy
encore merci pour cette énigme très intéressante !

après essai de plusieurs méthodes et diverses approches de réflexion, je n'ai pas trouvé d'arrangement qui convienne.
le plus approchant donne des totaux de lignes de 38, sauf pour 2 lignes qui restent obstinément à 39 et 40 :'(

ma réponse est donc : je dis à mon supérieur que c'est impossible.

mais je n'ai pas réussi à le démontrer... il me tarde de voir la solution !!

Posté par
derny
re : Un défilé au cordeau 25-03-16 à 18:24

gagnéBonjour
Somme de 39 pour les 9 lignes demandées (aux symétries près)
                                    8
                                 7   3
                         11   16   12
                     4      15   14   6
                 9      5      13     2    10

Posté par
Tjaf
re : Un défilé au cordeau 27-03-16 à 23:40

gagnéBonjour,
Il existe exactement 12 dispositions convenant aux volontés du supérieur.
Celles-ci sont répertoriées sur l'image suivante :
Un défilé au cordeau

malou > ***image rapatriée***

Bon (long) week-end de Pâques à vous.
Tjaf

Posté par
jugo
re : Un défilé au cordeau 30-03-16 à 12:01

gagnéBonjour,

Une solution possible :

Un défilé au cordeau

Posté par
Taly
re : Un défilé au cordeau 04-04-16 à 00:47

perduLe problème est sans solution

Posté par
Chatof
re : Un défilé au cordeau 05-04-16 à 11:48

gagnéUn défilé au cordeau
2 réponses plus les symétries
[9,4,5,11,15,13,7,16,14,2,8,3,12,6,10,39],[9,7,2,11,15,13,4,16,14,5,8,6,12,3,10,39],[8,4,6,11,16,12,7,15,14,3,9,2,13,5,10,39],[8,7,3,11,16,12,4,15,14,6,9,5,13,2,10,39],[10,3,5,12,14,13,6,16,15,2,8,4,11,7,9,39],[10,6,2,12,14,13,3,16,15,5,8,7,11,4,9,39],[8,3,7,12,16,11,6,14,15,4,10,2,13,5,9,39],[8,6,4,12,16,11,3,14,15,7,10,5,13,2,9,39],[10,2,6,13,14,12,5,15,16,3,9,4,11,7,8,39],[10,5,3,13,14,12,2,15,16,6,9,7,11,4,8,39],[9,2,7,13,15,11,5,14,16,4,10,3,12,6,8,39],[9,5,4,13,15,11,2,14,16,7,10,6,12,3,8,39]

merci

Posté par
sbarre
re : Un défilé au cordeau 05-04-16 à 20:46

perduBonsoir,

je suis absolument incapable de le prouver, mais je pense vraiment que c'est impossible!

On verra bien!

Merci et à +

Posté par
Achdeuzo
re : Un défilé au cordeau 06-04-16 à 13:28

gagnéBonjour

Je propose la configuration suivante, avec une somme de 39 pour chaque ligne.

Merci pour cette énigme ! C'était

Un défilé au cordeau

Posté par
littleguy
re : Un défilé au cordeau 08-04-16 à 13:56

Bonjour,

Pas immédiate celle-là. ..

Il fallait que "les quinze hommes permutent leurs places de telle sorte que les neuf sommes soient égales" ;  sans autre précision cela signifiait implicitement "entre elles", sinon il aurait été préféré quelque chose du genre "identiques (ou égales) aux sommes trouvées précédemment".

Bravo à ceux qui ont trouvé et merci à tous.

Posté par
littleguy
re : Un défilé au cordeau 08-04-16 à 14:32

Pour Tjaf.

Une prochaine fois, et si l'occasion se présente, essaie d'insérer l'image directement dans ta réponse. Jette un coup d'oeil à la FAQ,  ici (Q05) : [lien]

Merci.

Posté par
malou Webmaster
re : Un défilé au cordeau 08-04-16 à 20:49

bonsoir littleguy
j'ai rapatrié l'image de Tjaf dans son message

Posté par
dpi
re : Un défilé au cordeau 10-04-16 à 08:58

perduBonjour,

Pour une fois ,je ris de mon poisson
J'ai lu  :"que les  9 sommes soient  égales".
Et je me suis embarqué  dans une recherche qui me donnerait les 9
sommes initiales....j'en ris encore

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 156:33:41.
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