bonjour
permettez moi de vous répondre

A, B, C des points du plan, G est leur isobarycentre.
f est l'application qui associe à un point M du plan le nb réel

MA²+MB²+MC².
On pose aussi s=AB²+BC²+CA².

1°Démontrer que f(M)=f(G) +3MG² ?

f(M)=MA²+MB²+MC²

MA²=(MG+GA)²=MG²+2MG.GA+GA²
MB²=MG²+2MG.GB+GB²
MC²=MG²+2MG.GC+GC²

donc f(M)=MG²+2MG.GA+GA²+MG²+2MG.GB+GB²+MG²+2MG.GC+GC²
=3MG²+2MG.(GA+GB+GC)+GA²+GB²+GC²

comme G est l'isobarucentre de A, B et C donc GA+GB+GC=0
d'autre part GA²+GB²+GC²=f(G)

donc f(M)=3MG²+f(G)


2°On suppose dans cette question uniquement que BC=9, CA=8, AB=7. Calculer
f(G)?

3AG=AB+AC

donc 9AG²=AB²+AC²+2AB.AC
de m^me
9BG²=BA²+BC²+2BA.BC
9CG²=CA²+CB²+2CA.CB

donc 9AG²+9BG²+9CG²=2AB²+2BC²+2AC²+2AB.AC+2BA.BC+2CA.CB
=2AB²+2BC²+2AC²+(AB.AC+BA.BC)+(CA.CB+AB.AC)+(CA.CB+BA.BC)
=2AB²+2BC²+2AC²+AB.(AC-BC)+AC.(AB-CB)+BC.(BA-CA)
=2AB²+2BC²+2AC²+AB.AB+AC.AC+BC.BC
=2AB²+2BC²+2AC²+AB²+AC²+BC²
=3(AB²+BC²+AC²)

donc 9f(G)=3(AB²+BC²+AC²)
et 3f(G)=AB²+BC²+AC²

3f(G)=7²+9²+8²=49+81+64=194

f(G)=194/3


3° Décrire les lignes de niveau f-1(k) de f (discuter selon le réel

k)

f(M)=3MG²+194/3

votre expression (f-1(k) ) n'est pas calire je suppose que c'est

f(M)=k

f(M)=k ssi 3MG²+194/3=k  donc k >=0
             ssi MG²=(k-194/3)/3
             ssi MG²=(3k-194)/9

MG²>=0 implique (3k-194)/9>=0
               implique 3k-194>0
              implique k>194/3=f(G)

donc si k>194/3 M n'existe pas

si k=194/3 alors une seule solution M=G

si k>194/3 alors le cercle de centre G et de rayon rc(3k-194)/3 est
solution.

4°Quel est le minimum de f? et en quel point est-il atteint?

le minimum de f est 0 et il est atteinf en M=G.

5°On suppose, dans cette question uniquement, que M décrit une droite
D. Quel est le minimum de f(M)?

Soit G' le projeté orthogonal de G sur la droite D.
Soit M un point de D.
alors:
MG²=MG'²+G'G²

G'G² est constant quelque soit M sur la droite D.

f(M)=3MG'²+3G'G²+194/3

d'après la question précédente f(M) est minimale ssi MG'=0 ssi M=G'


et vaut f(G')=G'G²+194/3

6°En évaluant de deux manières le nombre f(A)+f(B)+f(C), démontrer que
s=3f(G) ?

On a déjà montré à la question 2) que:

3f(G)=AB²+BC²+AC²=s


7° On suppose que A,B,C sont sur un cercle L  de centre
O de rayon R. Démontrer que s=3f(O)-9GO² et en déduire comment placer
A,B,C sur  L pour que s soit maximum.?

OA=R, OB=R  OC=R

par définition et d'après la question 1) :

f(O)=3OG²+f(G)

donc f(G)=f(O)-3OG²

donc 3f(G)=3f(O)-9OG²

comme s=3f(G)

donc

s=3f(O)-9OG²

intuitivement s est maximale ssi le centre de gravité G et le centre O du cercle
ciconstrit L coincide :

O=G

dans ce cas s=3f(O)=3f(G)=194.

voila boncourage

la prochaine fois essayez de faire l'exo et dite où est-ce que
vous bloquez?

Je n'ai pas vraiment compris ce que vous avez fait pour la question
3, moi j'ai fait d'une autre façon par rapport à un exercice
que l'on avait fait en cour et je trouve la meme chose que vous
.
Pour la question 6 on demande de faire de 2 manières différentes mais
vous , vous avez déduit de la question 2 donc je sait pas mais je
vous remercie de ce que vous avez fait je comprend mieux mon devoir.