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Niveau terminale
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Un exercice de récurrence.

Posté par
OrdiMac
23-08-17 à 15:07

Salut à tous et à toutes! Aujourd'hui, je m'entraîne sur la récurrence, mais je ne comprends pourquoi dans la partie hérédité, on va multiplier l'expression de départ par deux! Je ne comprends pas où sort le deux! D'après vous?

Exercice

. Montrons que : ∀n ∈ N, 2n > n.
Pour n ∈ N, notons la propriété P(n) : 2n > n

• Initialisation : 20 = 1 et 1 > 0 donc P(0) est vraie.

• Hérédité : soit n ∈ N. Supposons P(n) vraie ie 2n > n.

Montrons que P(n + 1) est vraie ie 2n+1 > n + 1 ie 2 × 2n > n + 1.

2n > n ⇒ 2n + 2n > n + 2n =⇒ 2 × 2n > n + 1 car pour tout entier n : 2n ≥ 1.

• Conclusion : On a montré par récurrence que ∀n ∈ N, 2n > n




Merci d'avance!

Posté par
kenavo27
re : Un exercice de récurrence. 23-08-17 à 15:09

bonjour
2n+1=2n*2

Posté par
OrdiMac
re : Un exercice de récurrence. 23-08-17 à 15:14

Oui, mais pourquoi le multiplier par 2 ( tout seul )?

2n+1=2n*2

Alors que on a une formule initiale de

2n > n.

Posté par
sanantonio312
re : Un exercice de récurrence. 23-08-17 à 15:19

Bonjour,
Comme l'a écrit kenavo27
2n+1=22n
Ce qui est utile pour démontrer une propriété de 2n+1 à partir d'une propriété supposée de 2n

Posté par
OrdiMac
re : Un exercice de récurrence. 23-08-17 à 15:22

Ah! Okay! J'ai compris! Une notion de maths  que j'avais oubliée!  Merci  sanantonio312  et  kenavo27 . Vous êtes des super profs!

Posté par
kenavo27
re : Un exercice de récurrence. 23-08-17 à 15:31

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Un exercice de récurrence. 23-08-17 à 18:29

Bonjour,
Finalement, c'était peut-être tout simplement la passage de x+x à 2x , avec x = 2n , qui posait problème ?



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