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Un exercice époumonnant
Soit G un groupe fini.
On apelle centre de G l'ensemble : Z(G)={x
G|
yG,xy=yx}
1)Démontrer que Z(G) est un sous-groupe distingué de G.
2)On fait opérer G sur lui-même par conjugaison :
G*G
G
(g,x)
g.x=gxg^(-1)
On note pour tout x de G ={g
G|g.x=x}(stabilisateur de x)
Démontrer la formule des classes suivante :
Card(G)=Card(Z(G))+
Où I' est une partie de G contenant exactement un représentant non central de chaque classe de conjugaison.
3)Application aux p-groupes.(Groupes d'ordre p^
où p est premier et 
*)
a)Démontrer que le centre d'un p-groupe est non trivial(C'est à dire non réduit à l'élément neutre)
b)Démontrer que pour =2 les p-groupes sont abéliens.
Merci d'avance.
Salut,
C'est bien on apprend des mots avec toi: prolixe, époumonnant...
Quelles sont les questions qui te posent problème en particulier?
Tout d'abord bonjour,
ensuite tu ne veux quand même pas qu'on te fasse ton exo non?
le 1er exercice est plus que trivial.
La seconde question n'est pas très compliquée, mais est fondamtentale.
la 3a) est triviale également lorsque l'on se sert du 2 et de l'hypothèse que l'on a un p-groupe. (p divise une la somme si et seulement si...)
La seule question moins évidente est la dernière, mais avant d'arriver jusque la, il faut faire le reste, on en reparlera à ce moment la.
A+
Note tout de même que cet exercice est ultra important dans la théorie des groupes. Notamment, ca ouvre les portes à la théorie de Sylow sur les groupes finis...
Le 1 ça va, je me suis servi de la définition.
Le reste, je succombe à mon déclin intellectuel nocturne.
Qu'appelles tu classes latérale?
Classe à gauche et à droite?
En fait ici, l'idée est de ne pas faire un calcul direct de ce qui t'es demandé, mais de compter les orbites. (probablement ce que tu appelles classes latérales)
N'oublie pas que ta fonction est bijective de G^2 dans G, tu peux donc compter les elements du domaine de départ ou d'arrivée, ca revient au même...
En attendant après 3 semaines, mon problème n'a pas trouvé preneur.
Je le réitère ici, à vos plumes mes amis....
Bonsoir,
Pour le 2) si tu n'as pas déjà vu la formule des classes en cours ? tu peux faire ainsi :
a) pour x dans G montre que l'orbite de x , notée : Orb(x) = {g.x / g dans G } est en bijection avec l'ensemble quotient G/Sx
b) montre que deux orbites sont toujours disjointes ou confondues
c) écrit G comme union disjointe d'orbites etconclu !
Cette question 2 me semble vraiment difficile sans détails....sauf si tu l'a vue en cours dans un cadre plus général où il suffit alors de remplacer ?
Bonn soirée
:?
Bonsoir tout le monde;
Otto,je n'ai pas trés bien saisi le sens de cette phrase:
N'oublie pas que ta fonction est bijective de G^2 dans G
veut-tu l'éclaircir s'il te plait.merci
amicalement elhor 
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