:*: Un exercice qui donne du fil à retordre :*: - forum mathématiques

 Niveau exercicesPartager :
			        
 Un exercice qui donne du fil à retordre 
Posté par 
infophile  02-06-07 à 18:13
Bonjour 

Toujours pour nos premières :

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

On découpe une ficelle de longueur L en deux morceaux.

Avec l'un d'eux, on forme un triangle équilatéral, et avec l'autre, un carré.

Comment couper la ficelle pour que la somme des aires obtenues soit minimale ? maximale ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bonne réflexion 
 Posté par 
borneore :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 18:31
Kévin : 
 Cliquez pour afficher
l'une des ficelles peut avoir une longueur nulle ?
 Posté par 
infophilere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 18:33
borneo : 
 Cliquez pour afficher
oui
 Posté par 
_Estelle_re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 18:37
Bonsoir 

 Cliquez pour afficher
L = x+y <=> y = L-x => y² = (L-x)²

T = 1/4(x²V3)

C = y² = (L-x)²

Soit A(x) = 1/4(x²V3)+(L-x)².

On cherche le minimum de A(x) et le maximum de A(x), L étant un paramètre.

A'(x) = (V3/2)x + 2(x-L)

On trouve que A'(x) > 0 pour x > 4L/(V3+4) et A'(x) < 0 pour x < 4L/(V3+4).

Donc le minimum de A(x) est atteint en 4L/(V3+4).

Pour obtenir la somme minimale des aires, on doit couper la fille telle que un morceau soit long de 4L/(V3+4).

Je sais, c'est faux, mais le plus important est de participer 

Estelle 
 Posté par 
moctarre :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 18:48
Salut infophile,

 Cliquez pour afficher
Soit L1 la longueur de la ficelle coupée pour construire le carré d'aire S1 et L2 la longueur de la ficelle coupée pour construire le triangle équilatéral d'aire S2

 Cliquez pour afficher
On a:

 Cliquez pour afficher
S1=L1²/16 ; S2=(rac(3)L2²)/18

 Cliquez pour afficher
en remplaçant L1 par L-L2 on a S1+S2=L2²(1/16+rac(3)/18)-LL2/8+L²/16=f(L2)

 Cliquez pour afficher
En étudiant la fonction f,je vois qu'elle admet son minimum quand L2=9L/(9+8rac(3))

 Cliquez pour afficher
je crois avoir dit que des bétises mais on sait jamais...
 Posté par 
infophilere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:03
Je vous attendais vous deux 

Estelle > 
 Cliquez pour afficher
Parfait ! Pourquoi ce serait faux ? Bien joué !  

moctar >  Cliquez pour afficher
Je vérifies plus tard, je dois y aller, mais ça doit être juste 

 Posté par 
_Estelle_re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:06
Kévin >> 
 Cliquez pour afficher
Merci pour l'énigme  Et pour le maximum ?

 Cliquez pour afficher
Lire "on doit couper la ficelle" et pas "fille" 

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:09

Estelle > 
 Cliquez pour afficher
Dresse le tableau de variation, tu verras peut-être où couper la fille 
 Posté par 
moctarre :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:16
vu ce que Estelle a fait j'ai tout faux car 
 Cliquez pour afficher
car pour aire de C j'aurai mis C=y²/16 au lieu de y²...
 Posté par 
_Estelle_re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:20
Moctar >> 
 Cliquez pour afficher
Pourquoi /16 ?

Estelle 
 Posté par Anassmalki (invité)re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:20
Bonjour, et j'epere que j'ai la solution 

 Cliquez pour afficher
Soit n la proportion avec laquelle on coupe le fil

On a des le départ nL + (1-n)L = L

Soit nL la longeur utilisée pour construire un triangle équilatéral, donc apres plusieurs calculs avec Pytahgore dans le triangle équilatéral on obtient l'aire A du trinagle A= n²L²3/18

Pour l'air du carré, on a A'= L²n²-2nL²+L²

Donc la somme des aires en fonction de n est f(n)= 2n-2+n3/9

(On peut enlever le L² puisque L est constant).

On calcule la dérivée, en sachant que cette fonction est forcément majorée, et on troue que cette fonction est majorée pour n = 18/(18-3)

J'espere ne pas avoir commis d'erreurs de calcul.
 Posté par Anassmalki (invité)re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:23
Désolé j'ai oublié un détail : 
 Cliquez pour afficher
Le minorant est 0 puisque cette fonction est définie sur R+
 Posté par 
moctarre :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:23
Estelle>>
 Cliquez pour afficher
si on coupe une longueur y pour construire le carré alors les coté du carré ont pour longueur y/4 d'où C=y²/16
 Posté par 
_Estelle_re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:28
Moctar >> 
 Cliquez pour afficher
Donc tu as raison, et je dois recommencer mes calculs 

Estelle 
 Posté par 
infophilere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:28
Non c'est juste Estelle 
 Posté par 
fusionfroidere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:30
t'as pas ta philo à réviser kévin 

Ok je casse l'ambiance 
 Posté par 
infophilere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:32
Enfin à un multiple près 

Je verrais demain, bonne soirée 
 Posté par Anassmalki (invité)re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:32
Oups j'ai fait des erreurs de calcule !! Bon je me rattraperai apres !
 Posté par 
moctarre :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:32
infophile>>
 Cliquez pour afficher
j'ai donc rien compris à l'exercice,peux tu m'expliquer comment ca se fait ? 
 Posté par 
infophilere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:34

Oui je glandouille FF 

La philo attendra, ce soir on fête les 18 ans d'un copain 

A+
 Posté par 
plumemeteorere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:34
bonjour Infophile

 Cliquez pour afficher
soit 1 la longueur totale et x le périmètre du triangle équilatéral

côté du carré : (1-x)/4

aire du carré : (x²-2x+1)/16

côté du triangle : x/3

aire du triangle de côté x : V3x²/4

aire du triangle formé : V3x²/36

total des aires : x²*(1/16 + V3/36) - x/8 + 1/16

dérivée : (1/8 + V3/18)x - 1/8

zéro de la dérivée : x = 1/(8*(1/8+V3/18)) = 1/(1+ 4V3/9)

maximum dans l'intervalle [0:1] quand x = 0 ou x = 1

x = 0 : aire du carré de périmètre 1 = 1/16

x = 1 : aire du triangle équilatéral du périmètre 1 = V3/36

1/16 > V3/36 : il ne faut pas couper la corde mais en faire un carré

minimum qaund x vaut 1/(1+ 4V3/9)

construire un triangle JKL rectangle en K où [JK] est la corde, et [KL] la corde augmentée de 4/9 du côté du triangle éguilatéral inscrit dans le cercle dont le rayon est la corde

la perpendiculaire de J à [JL] rencontre (KL) en M

[KM] est la longueur de corde qu'il faut assembler en triangle équilatéral, l'autre longueur étant assemblée en carré pour avoir un total minimal d'aires
 Posté par 
infophilere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:35
Pour les questions demandez à FF 

J'y vais 
 Posté par 
_Estelle_re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:38
Bonne soirée Kévin 

Estelle 
 Posté par 
fusionfroidere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:39
Citation :
Pour les questions demandez à FF

Je passe la main à Estelle  (que je salut par ailleurs)
 Posté par 
fusionfroidere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:39
salue
 Posté par 
_Estelle_re :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 19:50
Plutôt oui 

Salut FF 

Estelle 
 Posté par 
Rafalore :  Un exercice qui donne du fil à retordre   02-06-07 à 20:17
bonsoir,

merci infophile pour ce divertissement :

 Cliquez pour afficher
je note x et y tel que : L= x+y (en fait x et y représente la longueur d'un morceau coupé)

triangle équilatéral: le coté mesure 1/3x

carré : le coté mesure 1/4y

il faut introduire une fonction représenttant la somme des aires  et essayer de trouver les extremums. La fonction est :

(rac(3)/6)x*1/3x+1/16 y²

or y=L-1 , on obtient donc la fonction :

f(x)= (rac(3)/6)x*1/3x+1/16 (L-x)²  L est un réel fixé

maintenant je peux simplifier l'expression et étudier la fonction et trouver d'éventuel extremums.

P.S.: pour ton autre énigme je viens juste de commencer les barycentres et comme ton indice signale l'utilisation des barycentres je m'y mettrai la semaine prochaine.

D'autres parts merci de penser aux premières infophile, mais t'inquiète j'ai en réserve de nombreux petits exercices destinés à des premières passionnés (mais aussi à tous) ( alors vivement les vacances... : ) )

 Posté par 
infophilere :  Un exercice qui donne du fil à retordre   03-06-07 à 11:21
Salut Rafalo 

Pour l'autre énigme tu peux utiliser la méthode analytique.
 Posté par 
mikayaoure :  Un exercice qui donne du fil à retordre   03-06-07 à 11:28
salut kévin

tu peux complexifier en disant que la première figure est un polygone régulier à p côtés et la seconcde figure un polygone régulier à q côtés...( p et q > 2 )

éventuellement dire que q = p+1...

voire ( lorsque p ou q tend vers l'infini ) dire que ces figures sont 2 cercles....

A toi

 Posté par 
Rafalore :  Un exercice qui donne du fil à retordre   03-06-07 à 12:07
d'accord j'y fonce ...

merci infophile 
  Posté par 
Skopsre :  Un exercice qui donne du fil à retordre   03-06-07 à 18:41
Sympa la Jff 

Skops