bonsoir
permettez moi de vous répondre.

1 .    A,   B , C sont 3 point distincts non alignés  
demontrez que seul le vecteur u tel que u.AB = 0  et u.BC=0 est le vecteur
nul.

comme A, B et C ne sont pas alignés donc (AB,BC) est une base de l'espace
vectoriel associé au plan affine P.

donc il existe x et y éléments de R tels que:

u=xAB+yBC

u.AB=xAB²+yBC.AB=0
u.BC=xAB.BC+yBC²=0

le determinant de système est D=AB².BC²-(AB.BC)²

comme AB.BC=||AB||.||BC||cos(AB,BC)

donc D=||AB||².||BC||²(1-cos²(AB,BC))
           =||AB||².||BC||²sin²(AB,BC)
           = ||AB^AC||²   ; norme du produit vectoriel

comme les points A,B et C sont distincts deux à deux alors et qu'il
ne sont pas alignés donc AB^AC est non nul.

donc D est non nul.

donc x=y=0

donc u=0

2.     OBC est un triangle isocèle en O .  
montrer que ( OB + OC ) . BC=0  [1] ?

BC=OC-OB

donc
( OB + OC ) . BC=( OB + OC ) . (OC-OB)=OC²-OB²

comme le triangle OBC est isocèle donc OC²=OB²

donc

( OB + OC ) . BC=0  [1]


ABC est un triangle , C est son cercle circonscrit de centre O  
H est son orthocentre et G son centre de gravité

1a        En utilisant la relation [1] et HO+OA= HA
demontrez que (HO+OA+OB+OC) .BC = 0 ?

Comme O est le centre du cercle circonscrit donc le triangle OBC est isocèle
donc da'près la question précédente:

( OB + OC ) . BC=0  

d'autre part AH est la hauteur du triangle ABC issue de A donc elle est perpendiculaire
à BC:

donc HA.BC=0

comme HA=HO+OA

donc (HO+OA).BC=0

donc
( OB + OC ) . BC+(HO+OA).BC=0

donc

( HO +OA +OB + OC ) . BC=0

b          montrez de meme que:
(OH+OA+OB+OC).AB=0 ?

Je crois qu'il ya une faute dans cet énoncé. c'est plutôt:
(HO+OA+OB+OC).AB=0  qu'il faut démentrer.

je me place dans cette question dans ce cas:

en remarquant que (HO+OA+OB+OC).AB=(HO+OC+OA+OB).AB=0

il suffit de dire dans la relation de la question a):

( HO +OA +OB + OC ) . BC=0  A est le point opposé au vecteur BC en
produit scalaire.

dans la relation à démontrer:

(HO+OC+OA+OB).AB=0

C est le coté opposé au vecteur AB en produit scalaire.

donc

(HO+OC+OA+OB).AB=0

c            En utilisant A1 deduisez en que OH=OA+OB+OC ?

si l'on pose u=HO+OC+OA+OB

alors u.AB=0 et u.BC=0

donc d'après la question 1 u=0

donc HO+OC+OA+OB=0
donc -HO=OC+OA+OB

donc OH=OC+OA+OB

2a    En tenant compte de GA+GB+GC=0  
montrez que OA+ OB + OC = 3OG ?

GA+GB+GC=0  ssi GO+OA+GO+OB+GO+OC=0
                          ssi 3GO+ OA+ OB + OC=0  
                          ssi -3GO=OA+ OB + OC
                          ssi 3OG=OA+ OB + OC


b     deduisez en que O H G sont trois points alignés  
cette droite est âppelée droite d'euler du triangle ABC ?

comme 3OG=OA+ OB + OC

et OH=OC+OA+OB

alors 3OG=OH

donc les trois points O,G et H sont alignés.

voila

bon courage

ton aide m'est fort precieuse toutefois il y a la question un
pour laquelle je ne comprend pas ton raisonnement
en effet c peut etre d'un niveau trop elevé pour moi
et mon prof de math risquerait de se douter de qqchose mais enfin!
bref si eventuellement tu as une autre solution un peu plus simple pour
le probleme

par la meme occasion g 1 autre probleme:

je dois trouver la valeur exacte de ce chiffre:  
sachant que cos(7pi / 18) = sin (pi/9)
et que 0.5cos(pi/18)- (Raci3)/2*sin(pi/18)= cos (7pi/18)

je dois simplifier :           1           -         RACine 3
                                    ---------               ----------
                                     sin(pi/18)          cos(pi/18)

merci d'avance @+

  

rebonjour

OK pour la question1 c'est peut être le produit vectoriel que vous
n'avez pas encore vu.

alors vous pouvez considérer la réponse à la question comme suit:

1) comme A, B et C ne sont pas alignés donc (AB,BC) est une base de
l'espace vectoriel associé au plan affine P.

donc il existe x et y éléments de R tels que:

u=xAB+yBC

u.AB=xAB²+yBC.AB=0
u.BC=xAB.BC+yBC²=0

le determinant de système est D=AB².BC²-(AB.BC)²

comme AB.BC=||AB||.||BC||cos(AB,BC)

donc D=||AB||².||BC||²(1-cos²(AB,BC))
           =||AB||².||BC||²sin²(AB,BC)
        

comme les points A,B et C sont distincts deux à deux alors et qu'il
ne sont pas alignés donc sin(AB,AC) est non nul.

donc D est non nul.

donc x=y=0

donc u=0


-------------------------------------------------------

pour votre question:

sachant que cos(7pi/18) = sin (pi/9)

et que 0.5cos(pi/18)- (Raci3)/2*sin(pi/18)= cos (7pi/18)

soit à simplifier :           1/sin(pi/18)-rc(3)/ cos(pi/18)

posons A= 1/sin(pi/18)-rc(3)/ cos(pi/18)

multiplions A par sin(Pi/18)cos(Pi/18)

on obtient:

A*sin(Pi/18)cos(Pi/18)= cos(pi/18)- rc(3)sin(pi/18)
                                         = 2(0.5cos(pi/18)- 0.5rc(3)sin(pi/18))
                                         =2cos(7Pi/18)
                                         =2sin(Pi/9)

donc A*sin(Pi/18)cos(Pi/18)= 2sin(7Pi/9)

comme sin(Pi/18)cos(Pi/18)= 1/2(2sin(Pi/18)cos(Pi/18))
                                                 =1/2 sin(2.Pi/18)
                                                 = 1/2 sin(Pi/9)

donc A/2sin(Pi/9)=2sin(Pi/9)

en simplfiant par sin(Pi/ç) il reste:

A/2=2

donc A=4

comme A= 1/sin(pi/18)-rc(3)/ cos(pi/18)

donc
1/sin(pi/18)-rc(3)/ cos(pi/18) =4

voila

bon courage