Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour mon exos d'Arithmétique. Pourrais je d'avoir de l'aide s'il vous plaît?
Merci d'avance
1 . On note Si l'ensemble des solutions (x, y, z) de (*) telles que les seuls diviseurs communs à x,y et z soient - 1 et + 1 (on dit alors que les entiers x, y et z sont premiers dans leur ensemble ). Déterminez l'ensemble S des solutions de (*) en fonction de Si.
S est formé des triplets (kx,ky,kz)où k entier naturel et (x,y,z) dans Si. Mais ensuite comment continuer
2 .Soit (x,y,z) appartient Si.
a) Montrez que x ou y est pair.
On pourrait le montrer avec les congruences mais je ne dois pas les utiliser les congruences ayant disparu du programme. Comment le montrer autrement?
b) On supposera x pair. Prouvez que y et z sont impairs et premiers entre-eux.
Je ne vois pas du tout comment le faire.
c) Justifiez l'existence d'entiers naturels A et B premiers entre-eux tel que z-y = 2A et z+y = 2B. Et montrez que A et B sont des carrés parfaits.
d. Prouvez qu'il existe des entiers naturels a et b premiers entre-eux et de parités différentes tels que a =< b et
x = 2ab
y =b²-a²
z = b² + a²
e. Réciproquement, montrez que le triplet (x,y,z) du d . est bien un élément de Si.