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Un groupe fini dont les ´el´ements sont d’ordre 1 ou 2
Bonjour,
Soit G un groupe fini tel que pour tout .
1. Montrer que $G$ est abélien.
2. Soit H un sous-groupe strict de G et . Trouver le sous-groupe de G engendré par H et x.
3. Que pouvez vous dire de la cardinalité de G ?
mes réponses:
1.il suffit de multiplier par (ab)(ab)
2.utiliser la caracterisation (c est H union xH)
3.c est ca ou je ne suis pas sur
j'ai construit une partie H de G en retranchant un element x de telle façon que H soit un groupe
alors G=H union xH
donc card G =2xcardH
et j ai répète ca pour H cardH=2card(Hi)
jusqu'à arrivée au sg formé par l element neutre
donc card G est un puissance de 2
je me demande est ce qu il ya une preuve plus rigoureux ?
et Merci
salut
1.il suffit de multiplier par (ab)(ab)
ok sans oublier de mentionner l'associativité de la loi qui est la clé du raisonnement
2/ la commutativité permet (toujours avec l'associativité) de remarquer xHx = xxH = H
3/ il faudrait justifier mieux cela :
j'ai construit une partie H de G en retranchant un élément x différent de e de telle façon que H soit un groupe
alors G=H union xH
G=H U xH est du au fait que tous les elements sont d ordre 2
G=gr(H U {x})=H U xH
par exemple si G={1,a,b,ab}
H ={1,a} on a G=gr(HU{b}) ={an1bn2/n1,n2=1ou0}
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