Bonjour
suis-je "puriste" ?

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on passe par les conjugués (je note z' le conjugué de z, r le module de z
(z+1/z)(z' +1/z') = 4
on développe, réduit au même dénominateur
on factorise astucieusement en distribuant 4r²
on obtient
(r²-1)²+(z-z')²=0
et on passe aux x,y, avec un a²-b² bienvenu
(x²+(y-1)²-2)(x²+(y+1)²-2)=0
on a deux cercles centrés sur i et -i, de rayon sqrt(2)

Bonjour à tous et meilleurs vœux,

  alb12 a, comme à son habitude, fait travailler Xcas.
  javatasmanie a utilisé adroitement les coordonnées cartésiennes.

Je vous propose une autre solution. Bien entendu, tout le monde peut continuer à chercher sans pour autant regarder les blanqués

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  avec  

Il existe donc tel que

   ou encore   

  Pour et , on obtient qui sont solutions et on supposera maintenant distinct de ces deux valeurs.

  On calcule compte tenu de (1)  et

  

   d' où

    

  Avec et , on a donc:

    

  qui correspond aux deux cercles interceptant la corde et capables d'un arc de à près.



L'inconvénient de la méthode: elle nécessite une petite réciproque .

Bonjour

>> alb12

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Celle là,  je l'attendais et exactement sous cette forme

Une variante:

  

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Avec le théorème de la médiane:

    On a

ou encore (1)

Avec et , le théorème de la médiane donne:



  et (1) devient:

  

qui nécessite encore une réciproque.

salut

lake post de 10h36 : pourquoi calculer (z - 1)/(z + 1) ? quel est le lien avec l'énoncé ?


   et  


posons et

on peut remarquer que :



donc l'ensemble des solutions est symétrique par rapport aux axes du repère et donc leur intersection  ... et contient en particulier les complexes -1 et 1 ...


sans le théorème de la médiane (et les notations précédentes) :

Bonjour carpediem,

Je suppose que ceci:

  

Citation :
   et  


posons et

on peut remarquer que :



donc l'ensemble des solutions est symétrique par rapport aux axes du repère et donc leur intersection  ... et contient en particulier les complexes -1 et 1 ...

Citation :
sans le théorème de la médiane (et les notations précédentes) :

en fait j'ai cliquer sur poster avant de conclure .... ... mais bon je n'arrive pas plus à conclure ...

mes premières remarques permettaient de conclure à des considérations géométriques du lieu ...


mais ta première réponse donne la solution à "l'équation" AM . BM = 2OM ...

Bonjour,

2 représente le minimum de , c'est-à-dire z réel = 1.

Y-aurait'il d'autres solutions que +/-1?

Alain

Bonjour alainpaul,

D'ordinaire, j'hésite toujours à te répondre; ce n'est pas de la mauvaise volonté, mais je ne comprends pas souvent grand chose.

Ici, je le fais parce que j'ai initié ce topic. Mais je ne comprends encore pas.

Où diable veux tu en venir?

Bon après-midi,

Oui, j'ai relu avec plus d'attention vos réponses:les lieux géométriques  (cercles)

donnent les solutions attendues,

Désolé,

Alain

Bonjour,

On peut tout reprendre avec les lignes de niveau:

     avec

_{et bien sur}


    
    

Bon après-midi,

N'avons-nous pas  k 2,

Le calcul ne me semble pas simple,

Alain

>>alainpaul

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Simple, pas trop, mais pas trop compliqué non plus.

  On tombe sur ceci:



ou cela:

lake : quel logiciel utilises-tu pour le graphique ?

merci par avance ...

Bonsoir carpediem,

Mais GeoGebra bien sûr! Je suis bien incapable d'en utiliser un autre!

J' ai une équation cartésienne du lieu dépendant du paramètre

  En l'occurrence:

  

Je crée un curseur (ici de 0 à 4)
  Je rentre l'équation en question.
   Dans les propriétés du curseur, je mets un incrément de 0.2 et je coche la case "Animer"
   Dans les propriétés de l'équation, je coche la case "trace"

  Et roulez jeunesse

A noter que les courbes obtenues diffèrent de celles de Robert Ferréol  d'une rotation de 90° (ici vu les symétries, un échange de et )


  

ha oui d'accord ok !!

tu transformes d'abord en équation cartésienne, ce qui donne un polynome en x et y  ... facile à tracer par geogebra.

j'ai la même équation ... mais je ne vois pas comment la transformer plus (de façon simple)


merci

J'ai cru un moment (en regardant les courbes et comme avec les cercles lorsque ) qu'il y avait une factorisation possible .
Mais après réflexion, je ne crois pas...
J'ai aussi essayé en polaires; on obtient bien quelque chose mais rien de bien réjouissant...

Bonjour,

A cette occasion j'ai repris un vieux bouquin:"Recueil de problèmes sur la théorie des fonctions complexes" Editions de Moscou de MM Evgrafov et autres.

Il nous donne une construction géométrique de

ainsi que de nombreuses représentations de champs vectoriels à potentiels complexes,

Amicalement,

Alain

Oui avec et , il est facile de construire lorsqu' on connait

   :

  Un inversion, une symétrie axiale et un milieu de deux points:



Mais inversement comment construire connaisant ?

a deux antécédents (symétriques par rapport à ) foyers d'une certaine ellipse dont on connait deux diamètres conjugués

est la transformation qui à d'affixe non nulle fait correspondre d'affixe avec:

    

, on cherche ses antécédents par

Si est un antécédent, symétrique de par rapport à l'est aussi.

  On montre que l'ellipse de foyer et passant par admet l'axe des ordonnées pour tangente en et les diamètres conjugués et (ou inscrite dans le parallélogramme ):



On peut donc construire ses axes puis ses foyers et

On peut reprendre les lignes de niveau:

     avec

  On retrouve avec cette méthode les courbes lieux des foyers lorsque décrit des cercles centrés en