Un long découpage

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Un long découpage
Posté par 
dpi  02-03-20 à 16:47
Bonjour à tous,



Un beau jour de vacances  un papa dit à ses enfants de découper des figures ainsi:

un beau cercle de  10 cm de diamètre puis de le coller sur un triangle équilatéral  circonscrit ,puis un cercle circonscrit à ce triangle puis un carré  puis un cercle puis un pentagone puis un cercle puis un hexagone ,pour aboutir au stade du dessin.

Cette étape terminée,il  n'avaient presque plus de papier de couleur.

Quelle surface de papier  doit-il leur acheter pour poursuivre afin de couvrir 1 m² ?

En continuant bien sûr l'alternance cercle puis heptagone,cercle puis octogone puis....



 Posté par 
Sylvieg re : Un long découpage  03-03-20 à 10:56
Bonjour et merci d'animer 

Une question :

Les parties cachées sont-elles en papier aussi ou vides ?

Par exemple, pour le triangle vert :

Faut-il compter du papier vert pour la surface complète du triangle ou pour la surface du triangle moins celle du disque jaune ?

Bref, on superpose des couches de papier ou pas ?
 Posté par 
mathafou re : Un long découpage  03-03-20 à 11:02
Bonjour, 

il est écrit :



"de le coller sur ..."

(donc,avec du papier vert en dessous)
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trapanglere : Un long découpage  03-03-20 à 11:04
Bonjour,



En plus de la question de Sylvieg, je suppose aussi que :

 - le m² à atteindre est l'aire du plus grand polygone/disque

 - la surface de papier à acheter correspond à la somme des aires des figures à ajouter (ou bien achète-t-on une surface de papier rectangulaire et le découpage des figures dans le rectangle fait-il partie du problème ?)
 Posté par 
royannaisre : Un long découpage  03-03-20 à 11:36
Bonjour,

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Pour couvrir 1 m² , il faut aller jusqu'au cercle circonscrit à l'hendécagone

Il faudra environ 8,45 m² de papier
 Posté par 
trapanglere : Un long découpage  03-03-20 à 12:08
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Il me semble que les rayons successifs des cercles peuvent être calculés à l'aide d'une série géométrique qui converge vers une valeur telle qu'on ne couvre jamais 1m².



Soit un polygone régulier à n côtés, dans lequel est inscrit un cercle de rayon r, ce polygone étant inscrit dans un cercle de rayon R, alors on a :







Si  est le rayon du cercle initial, le kième rayon  vaut alors 







et il me semble que le rayon converge avant que le disque ait une aire d'1 m², mais je ne peux pas le prouver.

 Posté par 
dpire : Un long découpage  03-03-20 à 12:38
Bonjour,



Les  figures se superposent et le papa  est très riche....

Je laisse chercher et je donnerai la solution.
 Posté par 
LittleFoxre : Un long découpage  03-03-20 à 13:34


J'arrive aux même résultats que royannais :



 Cliquez pour afficher
Aire disque 1:  0.031 m²
Aire polygone à 3 côtés: 0.052 m²
Aire disque 2:  0.126 m²
Aire polygone à 4 côtés: 0.160 m²
Aire disque 3:  0.251 m²
Aire polygone à 5 côtés: 0.291 m²
Aire disque 4:  0.384 m²
Aire polygone à 6 côtés: 0.423 m²
Aire disque 5:  0.512 m²
Aire polygone à 7 côtés: 0.549 m²
Aire disque 6:  0.631 m²
Aire polygone à 8 côtés: 0.665 m²
Aire disque 7:  0.739 m²
Aire polygone à 9 côtés: 0.770 m²
Aire disque 8:  0.837 m²
Aire polygone à 10 côtés: 0.866 m²
Aire disque 9:  0.925 m²
Aire polygone à 11 côtés: 0.951 m²
Aire disque 10:  1.005 m²
Surface de papier utilisée: 10.169 m²
Surface de papier à acheter: 8.451 m²


Le code :

 Cliquez pour afficher

from math import pi, cos, sin

aire_totale = 0
aire_partielle = 0
rayon_disque = 0.1
nombre_cotes = 2
aire_disque = aire_polygone = 0
while True:
    aire_disque = pi * rayon_disque ** 2
    print(f"Aire disque {nombre_cotes-1}: {aire_disque: .3f} m²")
    aire_totale += aire_disque
    if nombre_cotes < 6:
        aire_partielle += aire_disque
    if aire_disque > 1:
        break
    nombre_cotes += 1
    rayon_disque_suivant = rayon_disque / cos(pi / nombre_cotes)
    aire_polygone = nombre_cotes * sin(pi / nombre_cotes) * rayon_disque * rayon_disque_suivant
    print(f"Aire polygone à {nombre_cotes} côtés: {aire_polygone:.3f} m²")
    aire_totale += aire_polygone
    if nombre_cotes <= 6:
        aire_partielle += aire_polygone
    if aire_polygone > 1:
        break
    rayon_disque = rayon_disque_suivant

print(f"Surface de papier utilisée: {aire_totale:.3f} m²")
print(f"Surface de papier à acheter: {aire_totale - aire_partielle:.3f} m²")
 Posté par 
trapanglere : Un long découpage  03-03-20 à 13:56
royannais et LittleFox,



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Se pourrait-il que vous ayez pris un diamètre pour un rayon ?
 Posté par 
royannaisre : Un long découpage  03-03-20 à 14:03
Bonjour Trapangle.

Effectivement , probablement une lecture trop rapide  du texte !
 Posté par 
trapanglere : Un long découpage  03-03-20 à 14:20
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D'après , le produit infini des cosinus converge en effet vers une valeur qui ne permet pas d'atteindre une aire d'1 m². Les aires successives convergent vers 0,5941... m².

Merci pour l'énigme, dpi !
  Posté par 
dpire : Un long découpage  03-03-20 à 20:00
Cet exercice est inspiré des polygones de Kasner et Newman.

trapangle a bien défini la formule.

Le rayon initial est à diviser par le  produit des cos successifs  cos /3.cos/4.cos/5.....

On a cru longtemps que cette suite tendait vers 12.



Christoffel J.Bouwkamp établit qu'en réalité c'était 8.7000366252.....



En commençant par r=0.05 m  on ne fera pas mieux que R=0.435  donc une dernière

aire < 0.5945 m² en ayant  empilé une surface astronomique de papier.