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Un morphisme entre Z,+ et Q*,x
Bonjour/Bonsoir,
Toujours dans l'algèbre, il y a une petite question qui me turlupine :
Énoncé :
Montrer qu'il n'existe pas de morphisme surjectif de (Z, +) dans (Q∗,×)
J'ai procédé de plusieurs manières, toujours par l'absurde j'ai supposé l'existence d'une fonction f qui vérifie les conditions d'un morphisme et vu que f est surjective donc il existe une fonction
g : (Q∗,×) -->(Z, +) tel que f soit inversible à droite
mais je n'ai pas d'idées de comment ressortir de cette absurde
( J'ai aussi essayé de dire que chaque x appartenant a Q s'ecrit comme f(x)=x/a avec a non nul appartenant a Z)
Merci de m'aider
Ouf ! Ce fut un peu dur.
Bon, maintenant, est-ce qu'un tel morphisme peut être surjectif ? Autrement dit, est-il possible que tout nombre rationnel non nul soit de la forme
pour un certain entier
?
GBZM merci infiniment !
Comment aviez-vous eu cette idée d'exploiter les propriétés d'un morphisme de groupe ?
M'enfin ?
Tu sais que est dénombrable, n'est-ce pas, et donc qu'on va pouvoir sans problème trouver une surjection de
sur
Ton exercice demande de démontrer qu'il n'existe pas de surjection qui soit un homomorphisme de groupes. C'est donc du côté des propriétés des homomorphismes de groupe qu'il faut chercher ce qui empêche d'être une surjection.
En face d'un problème, ne reste pas le nez dans le guidon, mais fais preuve de plus de réflexion et d'initiative !
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