Je ne suis pas le seul à suivre 3Blue1Brown à ce que je vois

Posons le problème comme suis :
Une masse de 1kg et une masse de m kg. Toutes deux ponctuelles qui rebondissent quand elles rentrent en contact ou quand elles atteignent x = 0. La masse de 1kg commence en x = 1 avec une vitesse v₁nulle, la masse de m kg commence en x > 1 avec une vitesse v_m = -1.

En x = 0, v₁ devient -v₁.
Quand x₁ = x_m, v₁ devient (2mv_m - (m-1)v₁)/(m+1) et v_m devient ((m-1)v_m+2v₁)/(m+1).

Combien de fois x₁ = x_m?

Sachant que connaissant 3Blue1Brown il y a une solution élégante et simple

Une petite simulation python qui simule le modèle ci dessus. Les résultats sont bien là, collisions(10000000000) retourne 314159 collisions.

 Cliquez pour afficher

INFINITY = 10**10 
def collisions(m):
   x1,xm,v1,vm = 1,2,0,-1
   collisions,t = [],0
   t0,tx = INFINITY, (xm-x1)/(v1-vm)
   while t0 < INFINITY or tx < INFINITY:
      #print(t,x1,xm,v1,vm,t0,tx)
      if t0 < tx:
         collisions.append(t0)
         x1 += (t0-t)*v1
         xm += (t0-t)*vm
         v1 = -v1
         t = t0
         # x1 Should be 0
         assert abs(x1) < 10**-3, x1
         t0 = INFINITY
         tx = t+(xm-x1)/(v1-vm)
         if tx <= t:
            tx = INFINITY
      else :
         collisions.append(tx)
         x1 += (tx-t)*v1
         xm += (tx-t)*vm
         v1,vm = (2*m*vm-(m-1)*v1)/(m+1), ((m-1)*vm+2*v1)/(m+1)
         t = tx
         # x1 and xm should be equal
         assert abs(xm-x1) < 10**-3, (x1,xm)
         t0 = t-x1/v1
         if t0 <= t:
            t0 = INFINITY
         tx = INFINITY
   return collisions

Salut,

La situation initiale en reprenant les notations de LittleFox :

Je ne participe pas ,mais je suis émerveillé  que apparaisse dans un
raisonnement linéaire.

J'ai trouvé quelque chose d'intéressant sur le graphique des vitesses (en suivant l'indice de la fin de la vidéo que le cercle est caché dans la conservation de l'énergie):

et donc les sont sur un cercle de rayon 1.

La quantité de mouvement est conservée lors de l'impact élastique :

et donc les vitesses avant et après l'impact sont sur une droite avec la même pente à chaque impact.

Les impacts en x=0 inversent simplement et donc aussi .

Le schéma de donne donc :


Et là, magie. On cherche le nombre de point sur le cercle mais le nombre de points est le périmètre du cercle divisé par la longueur des arcs qui sont tous les mêmes puisque les angles sont les mêmes puisque les segments sont parallèles.

Il ne reste plus qu'à calculer la longueur de cet arc.

Donc la tangente de l'angle est donné par

L'arc décrit par l'angle inscrit est le double de l'arc décrit par un angle au centre de même amplitude et donc tend vers quand l'angle est suffisamment petit.

Le nombre de points est donc . CQFD

Superbe LittleFox ! Je suis admiratif.

Maintenant il faut essayer de trouver la solution avec l'éventail d'angles qu'il montre à la fin

Bonsoir. Mes notions de physique sont loin mais il me semble que vous êtes sur la bonne voie.

J'étais en train de m'endormir hier soir lorsque la réponse à la version en éventail m'est venue, je n'ai plus pu dormir ensuite La voici :

Comparons notre modèle et une balle (un point) qui rebondit sur un mur (une droite).

Le mur est représenté par l'équation ax+by = c. Et la balle par sa position (p_x,p_y) et sa vitesse (v_x,v_y).

La balle conserve son énergie et donc la longueur de son vecteur vitesse est la même avant et après le rebond :



Ça ressemble étrangement à la loi de conservation de l'énergie de nos deux blocs :



Est-ce que la transformation permet une équivalence entre notre modèle et cette balle? Oui.

La collision entre nos deux blocs se fait quand On a donc l'équation de notre mur :

Est-ce que l'angle d'incidence de la balle est bien égal à l'angle de réflexion? Oui.

  
Mais cette dernière égalité est en fait exactement la loi de conservation du moment lors de la collision de nos deux blocs et donc les angles d'incidence et de réflexion sont égaux.

Pour ce qui est du rebond du bloc en x=0, on peut se convaincre que ça équivaut au rebond de la balle en y=0. En effet et .

Notre modèle de blocs est donc équivalent à une balle qui rebondit entre le mur et le sol. La balle a comme données initiales avec .

Chaque rebond des blocs équivaut à un rebond de la balle. Or, on peut se convaincre avec le schéma suivant que le nombre de rebonds de la balle est



En effet, à chaque rebond, c'est comme si la balle traversait le mur dans un monde miroir. Dans ces mondes miroirs, la balle traverse tous les murs qui sont au dessus du sol. Ces murs sont décalés d'un angle . Il y a un angle au dessus du sol. Donc la balle rencontre murs. Quand m est suffisamment grand et donc l'angle suffisamment petit, cette expression devient . CQFD aussi

Waouh ! Bon, définitivement tu m'impressionnes. Je suis pas rentré dans les détails de ce que tu as fait, mais ça a l'air tellement joli que je vois pas commenter ça peut être faux.

Bonjour,
Moi aussi je suis impressionné ,mais si on observe le site  ,Littlefox brille dans plusieurs
domaines
La réponse officielle est aujourd'hui .Tiens nous au courant...

Merci les gars

La réponse !! Exactement ta première démarche. La seconde est celle décrite dans l'article original si j'ai bien compris.



Fantastique tout de même ce problème. Je le garde en mémoire !

Pour la seconde elle est dans l'article original mais 3b1b laisse entendre qu'il fera probablement une vidéo dessus à la fin de la vidéo d'aujourd'hui. Ce serait un rayon lumineux entre deux miroir plutôt qu'une balle dans un coin. Mais la démarche devrait être sensiblement la même

Voilà la seconde solution en vidéo

Je n'ai pas tout compris mais ce n'est pas grave

J'avais proposé à un site de mateux "purs et durs" d'estimer le nombre de rebonds effectués par un rayon lumineux avec une incidence donnée dans un angle donné , je n'avais reçu aucune réponse .

Imod

Et bien tu as une réponse maintenant, ça n'a pas l'air trop compliqué de changer l'angle du rayon lumineux

Un rayon lumineux avec une incidence alpha arrivant entre deux miroir séparés d'un angle bêta rebondi n fois avec n donné par :



Vraiment trivial quand on a l'astuce

Oui , c'est un classique des problèmes de billards ou de plus courtes distances , on ramène ça ( par symétries ) à un problème d'alignement et la conclusion est facile .

Ca reste quand même toujours assez bluffant

Imod