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un petit exo sur les suites

Posté par
molp 18-09-05 à 17:09

bonjour,
Donc voilà j'suis bloqué sur cet exercice et si quelqu'un pourrait m'aider ce serait génial. Merci d'avance.
"Soit la suite (u[n])[n0] définie par u[n] = n^10/2^n
Calculer v[n] = u[n+1]/u[n] puis la limite de (v[n]). En déduire qu'il existe un rang n[0] à partir duquel v[n]2/3. En déduire que nn[0], u[n](2/3)^(n-n[0]).u[n[0]]. Quelle est la limite de (u[n]) ?"
encore merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : un petit exo sur les suites 18-09-05 à 17:34

v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)^{10}}{n^{10}}\frac{2^n}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})^{10}\to \frac{1}{2}

Donc il existe un rang n_0 tel que :
\forall n\ge n_0,\quad v_n\le\frac{2}{3}

\forall n\ge n_0,\quad u_{n+1}=v_nu_n\le\frac{2}{3}u_n (u_n est positif)

Donc, par récurrence,
0\le u_n\le (\frac{2}{3})^{n-n_0}u_{n_0}\to 0

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
molpre : un petit exo sur les suites 18-09-05 à 18:53

merci Nicolas mais je ne comprends pas d'où tu déduis ta dernière ligne. En particulier la puissance n-n0 multiplié par un0

Posté par
molpre : un petit exo sur les suites 18-09-05 à 20:15

personne ne peut m'expliquer la dernière ligne, parce que je vois vraiment pas ? s'il vous plait.............

Posté par
molpre : un petit exo sur les suites 18-09-05 à 20:52

vraiment personne ????

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : un petit exo sur les suites 19-09-05 à 16:57

Je crois l'avoir écrit clairement : on passe de l'avant-dernière ligne à la dernière ligne grâce à un raisonnement (trivial) par récurrence.
"La propriété est vraie au rang n0. Supposons qu'elle soit vraie au rang n et montrons qu'elle est vraie au rang n+1".

Nicolas


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