Bon, voilà je me suis cassé la tête pendant plusieurs heures sur
ce problême et je n'y arrive vraiment pas.......... Je vous
remercie de m'aider, j'en ai enormément besoin, allez à
plus et une fois de plus merci.

On se place dans un triangle ABC non rectangle, O est le centre du cercle
circonscrit
au triangle, A1 le point diamétralement opposé à A sur ce cercle
et H de A1 par rapport au milieu A' de [BC].

1) a) Montrer que (AH) est orthogonale à (BC).
b) Préciser la nature du quadrilatère BHCA1. En déduire, à l'aide du
théorème
de l'angle droit, que (BH) est orthogonal à (AC) et que (CH) est
orthogonale à (AB).     Retrouver ainsi que les hauteurs du triangle
sont concourantes et que H est l'orthocentre du triangle.

2) Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G est aussi
le
centre de  gravité du triangle AHA1.
En déduire que G est un point su segment [OH}] et que OH = 3 OG.  

3) La droite (AH) rencontre (BC) en P et le cercle circonscrit en H1.

Préciser les positions des droites (H1A1) et (PA').
En déduire que P est le milieu de [HH1] et donc que H12 est le symétrique
de H par rapport à (BO).  

Bonjour
Si H est le symétrique de A1 par rapport à A', tu sais aussi que
A' est le milieu de [BC] et que O est celui de [AA1)
Par conséquent (OA') est la droite des milieux dans le triangle
AHA1 et est donc // à (AH)
et comme (OA') est la médiatrice de [BC], elle est perpendiculaire
à (BC) et (AH) l'est donc aussi.

Par ailleurs  HCA1B est un quadrilatère dont les diagonales se coupent
en leurs milieux et c'est par conséquent un //logramme
donc (BH) est // à (A1C)

Or (A1C) est perpendiculaire à (AC) puisque [AA1] est un diamètre du
cercle circonscrit à ABC
donc (BH) est aussi perpendiculaire à (AC)
et (BH) est une autre hauteur et H est donc l'orthocentre du triangle
ABC.
La médiane AA' du triangle ABC est aussi la médiane du triangle
HAA1 puisque A' est à la fois milieu de [BC] et de ([HA1]
G  tu le sais, est au 2/3 de AA'.
Ce sera également la position du centre de gravité du triangle AHA1
Comme (HO) est une autre médiane du triangle HAA1 (O milieu de AA1) G sera
  sur cette médiane telle que HG=2/3HO
que l'on peut aussi écrire
OG=1/3OH  (OG=OH+HG=OH+2/3H0=1/3OH)

3) l'angle PBH1 est égal à l'angle HAC  car ils interceptent
le même arc H1C
or l'angle HAC=angle HAC comme angles à côtés perpendiculaires
donc l'angle PBH=angle H1BH et comme (BP) perp. à (HH1) le triangle
H1BH est isocèle et [PH]=[PH1] et H1 est bien symétrique de H par
rapport à  (BC) puisque (BC) est aussi médiatrice de [HH1]
Pour cettte dernière question , j'ai fait quelque peu différemment
de ce qui était suggéré, ne serait-ce que parce que je n'ai
pas tellement compris ce qu'on te suggérait (n'as tu pas
commis une erreur de transcription ?)
Bref, la méthode que j'ai utilisée est un grand classique, comme au
demeurant tout cet exo qui cherche à te préciser ce qu'est le
cercle des 9 points ou encore appelé le cercle d'Euler.
Bon travail

Merci beaucoup ga, je vais regarder ça