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Un petit retour des premiers
Bonjour à tous,
Soit une liste de nombres premiers consécutifs < (pour commencer),
On fait la somme des chiffres de chacun.
On observe qu'environ 38 % de ces sommes sont premières *.
Quelle est la plus grande séquence de sommes premières successives?
*par exemple 41 43 47 donne 5 7 11 soit une séquence de 3.
Voici les meilleures séquences que j'ai trouvé:
Cliquez pour afficherJe n'en ai pas trouvé de plus longue avec des nombres premiers sous 2x108
Peut-on prouver qu'il n'en existe pas de longueur 16?
Je ne vois vraiment pas pourquoi il n'y aurait pas de solution de longueur 16.
Si on regarde les solutions proposées, pour longueur=9, on a trouvé une solution avec 5 chiffres (14293 à 14387), et pour longueur=10, la première solution trouvée comporte 7 chiffres (2442113 et suivants)
Il a fallu multiplier n par 100 pour franchir un pas ... et d'un coup on a trouvé la meilleure réponse pour longueur=10, 11, 12 ,13, 14 et 15 !
Avec les nombres premiers, tout est infini. Y compris cette suite.
>ty59847
Tu as raison sur le principe de l'infini.....
Mais ne trouves-tu pas étrange le fait que les séquences 10 à 15 soient justement
si proches ----puis plus rien---pour le moment ?
La conjecture reste ouverte
Si on observe les totaux du record actuel ,entre 17 et 31 ,on voit que pour un nombre
suivant 2442359 il aurait fallu que la somme de ses chiffres soit première.
Or celle de 2442367 est paire .
La succession des totaux jusqu'à culmine à 71 et on n'a pas trouvé
de séquence supérieure à 15.
Je pense qu' il va être difficile de faire mieux à cause de la rareté des premiers incluant celle des sommes premières .
On attend un testeur qui osera.................
Il y en a des plus longues 
Le prochain record commence par 466343539 qui est juste deux fois plus loin que ce que j'avais testé.
Les séquences 10 à 15 ne sont pas proches les unes des autres, elles sont confondues !
La séquence n°17 (793234063 à 793234441 ) n'est pas conforme à mes pronostics.
Je pensais que les séquences suivantes auraient toutes des nombres commençant avec des petits chiffres. J'explique.
79323xxxx : la somme des 5 premiers chiffres fait 24 ; les nombres premiers qui suivent 24 sont 29 31 37 ... ils ne sont pas très denses. On n'a que 3 nombres premiers sur les 15 nombres qui suivent 24.
Si on avait par exemple des nombres du type 12200xxxx, ça nous donnerait une somme de 5, et donc la possibilité d'avoir 7, 11,13,17, 19 ... Un peu plus de 'chances' de tomber sur des nombres premiers.
Une petite idée.
En observant S17 de 793 234 063 à 793 234 441 on constate:
*Un écart moyen de 24 ce qui est faible dans la tranche .
*seulement 3 totaux des sommes des chiffres :37 41 43
On peut donc dire qu'il y a un rapport entre l'écart rapproché des premiers et l'écart
rapproché de la somme première de leurs chiffres.
Par exemple il y certainement un S record autour de 101 103 107 soit des nombres
premiers successifs d'environ 20 chiffres.
wait and see
Appel à Littlefox,
J'essaye de trouver une idée en analysant les séquences record..
Ainsi je suis sur S 25 qui commence à 1 008 266 115 029.
Comme le record d'écart dans cette tranche est 210 je présume que cette séquence est
située entre ce nombre et +210x25 soit 1 008 266 162 279.
Je fais exploser Excel ..
Peux-tu la trouver et observer les totaux ?
Excel n'est pas prévu pour gérer de si grand nombre.
Python par contre n'a (théoriquement) de limite que la mémoire de la machine.
Qu'est ce qui t'empêche de ne gérer que les derniers digits ? Il doit y avoir moyen de trouver en ligne un générateur qui te donne les nombres premiers après un nombre. Sinon c'est très facile en python quand on applique Miller Rabin ou équivalent.
Mais je ne suis pas sur l'ordi pour l'instant.
Merci,
J'ai trouvé un super générateur.
La Séquence record OEIS est donc :
1008 266 115 029 047 049 061 065 067 089 119 137
139 173 193 223 317 319 359 377 391 443 481 511 599 601 629 et 641
le suivant 677 totalise 50 et est donc hors-jeu.
Cette belle séquence de 25 a pour somme des chiffres 37 41 43 47 53.
Ce qui confirme le nombre réduit et rapproché des sommes et le faible écart entre premiers.
Quand on est sur des nombres de 13 chiffres comme ici, on a en gros un écart de 25 entre 2 nombres premiers consécutifs. Donc on joue sur les 2 dernières décimales, et de temps en temps, le chiffre des centaines. Ca ne donne pas une grande marge de manoeuvre pour notre somme des chiffres. 16 d'écart entre le 37 et le 53, c'est même beaucoup !
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