Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau énigmes
Partager :

Un petit retour des premiers

Posté par
dpi
05-08-20 à 17:10

Bonjour à tous,

Soit une liste de nombres premiers consécutifs <10^{6} (pour commencer),
On fait la somme des chiffres de chacun.
On observe qu'environ 38 % de ces sommes sont premières *.
Quelle est la plus grande séquence de sommes premières successives?

*par exemple  41   43   47   donne 5   7   11  soit une séquence de 3.

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 11:39


Pour littlefox et bien sûr les amateurs......

Posté par
LittleFox
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 11:56


Voici les meilleures séquences que j'ai trouvé:

 Cliquez pour afficher


Je n'en ai pas trouvé de plus longue avec des nombres premiers sous 2x108

Peut-on prouver qu'il n'en existe pas de longueur 16?

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 12:32

Effectivement....

 Cliquez pour afficher

Posté par
ty59847
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 14:05

Je ne vois vraiment pas pourquoi il n'y aurait pas de solution de longueur 16.

Si on regarde les solutions proposées, pour longueur=9, on a trouvé une solution avec 5 chiffres (14293 à 14387), et pour longueur=10, la première solution trouvée comporte 7 chiffres (2442113 et suivants)
Il a fallu multiplier n par 100 pour franchir un pas ... et d'un coup on a trouvé la meilleure réponse pour longueur=10, 11, 12 ,13, 14 et 15 !

Avec les nombres premiers, tout est infini.   Y compris cette suite.

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 14:38

>ty59847

Tu as raison sur le principe de l'infini.....
Mais ne trouves-tu  pas étrange le fait que les séquences 10 à 15 soient justement
si proches ----puis plus rien---pour le moment ?
La conjecture reste ouverte

Posté par
LittleFox
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 16:04


Je pense comme ty59847 qu'un suite plus longue existe. Elle peut être très loin par contre

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 18:26

Si on observe les totaux du record actuel ,entre 17 et 31 ,on voit que pour un nombre
suivant  2442359 il aurait fallu que la somme de ses chiffres soit première.
Or  celle de 2442367 est paire .
La  succession des totaux  jusqu'à 10^{8 } culmine à 71 et on n'a pas trouvé
de séquence supérieure à 15.
Je pense qu' il va être difficile  de faire mieux à cause de la rareté des  premiers  incluant celle des sommes premières .
On attend un testeur qui osera.................



  

Posté par
LittleFox
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 18:39


Il y en a des plus longues

Le prochain record commence par 466343539 qui est juste deux fois plus loin que ce que j'avais testé.

Posté par
ty59847
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 18:53

Les séquences 10 à 15 ne sont pas proches les unes des autres, elles sont confondues !

La séquence n°17 (793234063 à 793234441 ) n'est pas conforme à mes pronostics.
Je pensais que les séquences suivantes auraient toutes des nombres commençant avec des petits chiffres. J'explique.
79323xxxx : la somme des 5 premiers chiffres fait 24 ; les nombres premiers qui suivent 24 sont 29 31 37 ... ils ne sont pas très denses.  On n'a que 3 nombres premiers sur les 15 nombres qui suivent 24.

Si on avait par exemple des nombres du type 12200xxxx, ça nous donnerait une somme de 5, et donc la possibilité d'avoir 7, 11,13,17, 19 ...   Un peu plus de 'chances' de tomber sur des nombres premiers.

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 06-08-20 à 19:03

Toujours ce maudit OEIS qui nous fait faire de la prose sans le savoir

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 07-08-20 à 07:39

Une petite idée.
En observant S17 de 793 234 063 à 793 234 441 on constate:
*Un écart  moyen  de  24 ce qui est faible dans la tranche  .
*seulement 3 totaux des sommes des chiffres  :37 41 43

On peut donc dire qu'il y a un rapport entre l'écart rapproché des premiers et l'écart
rapproché de la somme première de leurs chiffres.
Par exemple il y certainement un S record  autour de 101 103 107 soit des nombres
premiers successifs d'environ 20 chiffres.
wait and see

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 09-08-20 à 09:51

Appel  à Littlefox,

J'essaye de trouver une idée en analysant les séquences record..
Ainsi je suis sur S 25 qui commence à 1 008 266 115 029.

Comme le record d'écart dans cette tranche est 210 je présume que cette séquence est
située entre ce nombre et  +210x25 soit  1 008 266 162 279.
Je fais exploser Excel  ..
Peux-tu la trouver et observer les totaux ?

Posté par
LittleFox
re : Un petit retour des premiers 09-08-20 à 14:16


Excel n'est pas prévu pour gérer de si grand nombre.
Python par contre n'a (théoriquement) de limite que la mémoire de la machine.

Qu'est ce qui t'empêche de ne gérer que les derniers digits ? Il doit y avoir moyen de trouver en ligne un générateur qui te donne les nombres premiers après un nombre. Sinon c'est très facile en python quand on applique Miller Rabin ou équivalent.

Mais je ne suis pas sur l'ordi pour l'instant.

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 09-08-20 à 15:03

Merci,

J'ai trouvé un super générateur.
La Séquence record OEIS est donc :
1008 266 115 029    047  049  061   065  067  089  119   137
139  173  193  223  317  319  359  377  391  443   481  511  599  601  629 et 641
le suivant 677  totalise 50 et est donc hors-jeu.
Cette belle séquence de 25  a pour somme des chiffres 37  41 43 47  53.

Ce qui confirme le nombre réduit et rapproché des sommes et le faible écart entre premiers.

Posté par
ty59847
re : Un petit retour des premiers 09-08-20 à 15:47

Quand on est sur des nombres de 13 chiffres comme ici, on a en gros un écart de 25 entre 2 nombres premiers consécutifs.  Donc on joue sur les 2 dernières décimales, et de temps en temps, le chiffre des centaines.  Ca ne donne pas une grande marge de manoeuvre pour notre somme des chiffres.  16 d'écart entre le 37 et le 53, c'est même beaucoup !

Posté par
dpi
re : Un petit retour des premiers 10-08-20 à 11:45

Il semble intéressant de battre ce record en cherchant dans les totaux 59 à 73  pour des
premiers de 14 ou 15 chiffres.
Je sui surpris que les adeptes de Python n'aient pas tenté ....

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !