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1) Ok, on peut procéder par récurrence pour trouver lesdites masses. Voici comment je procède.
Pour n=1, je pose m_1=1.
Supposons construites les n premières masses (qui permettent donc d'obtenir toutes les masses jusqu'à (3^n-1)/2.
On pose alors m_{n+1}=\Bigsum_{i=1}^nm_i +1.
Les combinaisons pour lesquelles on mets m_{n+1} sur 1, et où on ne le mets nulle part forment 2 ensembles deux à deux disjoints. Le cardinal de leur réunion vaut alors (3^n-1)/2 + 2*(3^n-1)/2 + 1 (le 1 correspond à la situation où seule m_(n+1) est présente sur 1). Soit un total de (3^(n+1)-1)/2 masses possibles.
On les a toutes.

2) Je dirais que oui, c'est vrai du moins pour les petites valeurs de n. Voici comment je procèderai:
On fixe n désormais et on autorise les masses négatives (situations dans lesquelles on a plus de masse sur 2 que sur 1) ou nulle.
Pour tout n-uplets (l_1,...,l_n) de masses (de [|(-3^n+1/2, (3^n-1)/2|]) on écrit dans un tableau à n-lignes n-colonnes la combinaison des masses (m_1,...,m_n) qu'il faut pour les obtenir (-1 si on l'a mis sur 2, 1 si on l'a mis sur 1 et 0 sinon). Bref, on vient de recréer M_n(F3).
On calcul donc GLn(F3) (ce qui doit pouvoir se faire, assez mochement, mais quand même...). On divise par le nombre de répétitions (à un ensemble de n masses correspond n! famille vu que l'ordre intervient quand on présente une matrice). Là, on prie pour qu'il n'en reste plus beaucoup.
Parmi celles qui reste, on prouve (je sais pas comment) que lorsqu'on revient à la situation réelle (masses positive et on additionne comme dans Z) il n'y a que la matrice identité qui convienne.

Je suis sur la bonne voie ou bien mon analogie est carrément vaseuse?

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Bon deja c'est une bonne idée de symetriser le probleme en considerant que les masses peuvent etre negatives et en choisissant un des deux playeaux de la balcne que lon compte positivement. Je suis quand meme néanmoins sceptique sur un passge dans le 1). En effet pour n=2 il faut peser toutes les masses de 0 à 4 kgs. Or avec ta methode tu poserai m1=1, m2=2, et tu va pouvoir difficilement peser 4 kg avec ça.

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Arf, j'ai oublié un "2"... C'est m_{n+1}=2\Bigsum_{i=1}^n m_i +1

Dans le cas de n=5, les masses sont alors 1,3,9,27,81.

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Oui autrement dit...les puissances de 3 , cela dit le fait que les deux ensembles dont tu parles soient disjoints ne me parrait pas si immediat (et c'est en fait le point clé aussie bien dans l'existence que l'unicité), pour l'inicité...heu peut etre ta methode va marcher...mais on a pas besoin de passer par là!