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Un polynôme symétrique

Posté par
alainpaul 17-03-15 à 19:43

Bonsoir,

Pourriez-vous sans effectuer de calculs prouver que:

$\bar P_4(x)=(3x+1)(2x+4)\times (3x^2+2x+1)+(x+3)(4x+2)\times(x^2+2x+3)$

est un polynôme symétrique?

Alain

Posté par re : Un polynôme symétrique 17-03-15 à 23:00

Bonsoir !
Considères-tu la réponse $P(1/x)=x^4P(x)$ comme étant "sans calcul" ?

Posté par re : Un polynôme symétrique 18-03-15 à 09:34

Bonjour,

Mail de 23h ;j'étais déjà dans les bras de Morphée!

Oui,affirmatif.

Alain

Posté par re : Un polynôme symétrique 18-03-15 à 13:57

Cheers,

By the way,

nous pouvons dire que tous les polynômes symétriques p(x) de
degré impair sont divisibles par (x+1) , $\bar p_{2n+1}(1)=0$

Alain

Posté par re : Un polynôme symétrique 18-03-15 à 13:58

Oui,

Lire p(-1)

Alain

Posté par re : Un polynôme symétrique 19-03-15 à 10:50

Bonjour,

Mon approche des polynômes symétriques p_n(x) est la suivante:

1° je m'intéresse au polynôme 'mirroir' p' de p:
$p'_n(x)=x^n\times p(\frac{1}{x})$
Exemple: $x^3+5x^2+2x+3 , 3x^3+2x^2+5x+1$

2° Lorsque p=p' soit $\bar p_n(x)$ ,le polynôme ainsi écrit est symétrique.
Les propriétés suivantes en découlent:
$\bar q_{2n}(x)=p_n(x)\times p'_n(x) ,\bar v_{n}(x)= p_n(x)+ p'_n(x)$

Et aussi : $\bar v_{2n}(x)=\bar p_n(x)\times \bar q_n(x)$ (1)

Cas particuliers de (1):
$\bar p_n(x)=x+1, x^2+1$

$\forall \bar p_3(x) ,\bar p_3(1)=0 ,(x+1) |\bar p_3$

Alain