Bonjour, je trouve se problème assez difficile à cerner. Pouvez vous m'aider à le résoudre.
Merci d'avance.

Un problème de bricoleur…
Un bricoleur original dispose d'un morceau de bois dans lequel il découpe des cubes…
Le premier cube à pour arête r, le second cube d'arête r/2, le troisième d'arête r/3, et ainsi de suite…le plus longtemps possible.

Il empile les cubes les uns sur les autres pour obtenir une pyramide. Trois questions lui viennent à l'esprit :
Sa pyramide atteindra t-elle le plafond ?
Aura-t-il suffisamment de peinture pour la peindre avec un seul pot ?
Le morceau de bois suffira-t-il ?

Pour répondre à la première question :
En remarquant que 1/2 > ou = 1/2 puis que 1/3 + 1/4 > ou = 2/4. Prouver que, n étant un entier naturel quelconque 1 +1/2 + 1/3 +…. + 1/p lorsque p tend vers l'infini.
Peut-on en déduire que la pyramide atteindra le plafond ?

Pour répondre à la deuxième question :
Prouver que, si n > ou = 2 alors ; 1/n² < [(1/(n-1)) - 1/n]
En déduire que, pour tout n > ou = 2 : 1 + 1/2² + 1/3² +…. + 1/n² < 2 - 1/n
Puis que la somme 1 + 1/2² + 1/3² +…. + 1/n² ne peut jamais dépasser 2.
Un pot de peinture suffira-t-il ?

Pour répondre à la troisième question :
Prouver que, si n > ou = 2 alors ; 1/n^3 < ou = 1/(2(n-1)) -1/n + 1/(2(n+1))
En déduire que 1 + 1/(2^ 3) + 1/(3^ 3) +…. + 1/n^3 < 5/4 -1/(2n(n+1)) pour tout n > ou = 2
Le morceau de bois suffira-t-il ?