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Un problème de Diophante
Bonjour 
Diophante était un mathématicien d'Alexandrie dont on ne sait presque rien. Il pourrait avoir vécu autour de l'an 250 de notre ère.
Deux ouvrages de Diophante nous sont parvenus : les Arithmétiques et le petit livre des Nombres polygones.
Les Arithmétiques ont été traduites en latin par Bachet au début du XVIIème siècle et c'est dans la marge (trop étroite !) de son exemplaire, que Fermat a écrit l'énoncé de son fameux dernier théorème.
De nos jours, on appelle équation diophantienne une équation dont on cherche des solutions en nombres entiers. Mais curieusement, Diophante lui-même ne recherchait presque jamais des solutions entières, mais juste des solutions en nombres rationnels strictement positifs aux équations qu'il étudiait.
Voici, extrait des Arithmétiques, un problème posé et résolu par Diophante (IV, XVI):
Trouver trois nombres, dont la somme est un carré et tel que le carré de chacun d'eux, accru du nombre qui le suit, forme un carré.
En langage algébrique moderne, on cherche trois rationnels strictement positifs x, y et z tels que :
x + y + z = a2
x2 + y = b2
y2 + z = c2
z2 + x = d2
(Evidemment, a, b, c et d doivent être aussi des nombres rationnels.)
Bonne recherche !
Cordialement
Frenicle
Bonjour
il me semble que ça a servi de support à i=une énigme officielle, il y a quelque temps (une histoire de corps d'armée qui se regroupaient différemment mais en restant en formation carrée)
bien évidemment, je ne donne pas le lien, pour ceux qui veulent chercher 
(si tu me le demandes gentiment, je te l'enverrai par mail 
)
Un petit 
Voilà une solution facile : x = y = z = 1/3
Mais ce n'est pas celle de Diophante qui donne trois nombres x , y et z tous différents.
Cliquez pour afficherBonjour
Alors un petit indice :
Diophante se dit, si je prends x = m - 1 et y = 4m, m étant un rationnel arbitraire, la deuxième équation est toujours vérifiée. En effet,
x² + y = (m - 1)² + 4m = (m + 1)²
Donc x² + y est toujours un carré.
Maintenant, poursuit-il, si je pose z = 8m + 1, j'aurai
y² + z = 16m² + 8m + 1 = (4m + 1)², toujours un carré.
Il n'y a "plus qu'à" choisir m pour que x + y + z soit un carré, ainsi que z² + x.
Bonne réflexion
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