Bonjour,

je me demande s'il existe un moyen simple de calculer

Je dirais le coloriage. j'en dénombre 13 triangles mais sans conviction.

Non oubli mais 13 triangles, il en a plus, je te fais une figure avec coloriage.

Dsl

Je peux guère faire mieux

+++

mercie beaucoup à vs!  
moi, j'ai compter 23,

mais vraiment il ya pa un moyen de calcule, pour ce genre de figure, ???
avant, j'ai entendu de parler, mais ça fait trop lontemps:
si quelqu'un le savait , explique nous , please!!

Bon j'y ai passé au moins deux heures pour trouver ce truc alors j'espère que quelqu'un(e) se penchera sur le problème.

Je vais me placer dans la théorie des graphes pour tenter de résoudre ce problème.
(Voir figure jointe pour les numérotations des sommets.)

Alors, tout d'abord, je considère la matrice associée à ce graphe, "complété".
Je m'explique : je ne l'ai pas mis sur ma figure, sinon le graphe aurait été illisible.
Mais par exemple, on peut joindre les sommets 1 et 3, puis les sommets 1 et 4 etc.
    
Bon, en regardant les éléments diagonaux de on aura tous les triangles possibles constructibles.
Alors on trouve :
    
Bon, en calculant la trace, on trouve , qu'il faut diviser par trois, chaque triangle est compté trois fois (une fois pour chaque sommet) soit
     triangles.
Se pose alors le problème des triangles "plats" (par exemple 1-7-3 : voir figure).
Bon, on cherche alors les alignements de plus de deux points, on en trouve 5 :
     ce qui nous fera triangle à enlever ()
     ce qui nous fera triangles à enlever ()
     ce qui nous fera triangles à enlever
     ce qui nous fera triangle à enlever
     ce qui nous fera triangle à enlever
soit en tout triangles à enlever.
On obtient alors en tout :
     triangles.
Résultat trouvé par soucou

voici mon graphe :

WWAAOOUUUHHHH ! ! !  C Géant ce que t'as fait.

C qd qu'on apprend à faire des trucs pareils ?

Question que je l'apprenne maintenant.

Ayoub.

Salut 1 Schumi 1 !

Je ne sais pas trop quand on apprend ça. Après quelques recherches sur le net, on dirait que les Terminale ES en font.

En fait les terminale ES en font seulement s'ils ont pris la spécialité maths...Sinon, si tu passes par la voie scientifique, normalement on en fait pas avant la licence (je sais pas exactement quelle année...). Personnellement, j'en ai fait un peu cette année (en prépa intégrée dans une école d'ingénieurs) mais c'était pas au programme...En tout cas c'est super intéressant et très utile...

(P.S : Merci N_comme_Nul pour cette résolution, je suis vraiment impressionnée ! )

à + sur l'

Tout à fait d'accord, c'est impressionant ...
* image externe expirée *

@+ sur l'

Tu peux faire ta vie dans les maths pures et ne jamais avoir travaillé sur les graphes (bien que ca soit difficile quand même).
Même en licence de maths c'est pas dit que tu vois ça.
C'est quelque chose que tu verras principalement si tu fais de l'informatique (en tout cas en info c'est sur que tu verras ça).
A+

Avant de crier victoire, il faudrait que quelqu'un(e) vérifie ce que j'ai fait

Moi ça m'a l'air bon, mais je n'ai peut-être pas les connaissances suffisantes pour déceler les erreurs...

>> N_comme_Nul :

il me semble que soucou trouve la même réponse que toi ...

Combien y-a-t-il de triangles dans la figure jointe ?

Je trouve 105 triangles...

c'est compliquée, j'ai calculé, c'est 118:

ou bien tu as déjà calculé ou non, ,ben moi j'ai pas compté, donc, je ne sais pas tro

Salut,

happyfille quelle méthode as-tu utilisé ?

Je veux bien expliquer ce que j'ai fait, mais c'est un peu long (j'ai du remplir une matrice 14*14 !!!) et ce ne serait pas utile vu que j'ai raisonné exactement comme N_comme_Nul...
Donc j'aimerais bien qu'il se manifeste ou que quelqu'un d'autre propose une méthode...

à+

pour la réponse pécedente, 118 , c'est n'importe quoi


mais cette fois, j'ai compté 52 triangles pour le figure,un peu plus de confiance que la dernière fois, si quelqu'un peut le verifier ,

j'ai utiliser la méthode avec les segments,j'en suis pas sûr et j'ai mal expliqué, si vs compreniez!
c'est une méthode que je viens de découvrir,dite ce que vous pensiez pour cette méthode si ça bien marché
    

cinnamon : moi aussi, je me suis trouvé face à une matrice de format :
    
(bonjour pour tapper ce truc )
Je trouve
    
Donc en tout : triangles auxquels il faut encore enlever triangles (je trouve alignements de points et alignements de points).
Soit en tout :
     triangles.
À vérifier ...

Oups, j'ai oublié mon graphe ... j'arrive

voili voila

Euh...je ne sais pas si je vais avoir le courage de vérifier pour ta matrice N_comme_Nul, je n'ai pas la même étant donné que j'ai numéroté les sommets différemment...En tout cas l'un au moins de nous deux s'est trompé (espérons que ce ne soit pas les deux )...
Sinon, je trouve également 28 triangles plats à enlever avec le même nombre d'alignements donc ça doit être bon.
Je joins mon graphe à ce message et je posterai ma matrice après une revérification...

à+

N_comme_Nul, tu n'aurais pas la réponse quelque part par hasard ? Parce qu'après revérifiaction je trouve 108 triangles (c'est de pire en pire !!!).

La réponse ? J'ai inventé cet exercice, c'est pour ça que je demandais une vérification de ma réponse

Bon, bah on est mal partis alors...

Salut,

j'ai vérifié ta matrice N_comme_Nul, il y a un problème en position (5;8) et en position (8;5), tu as mis un zéro au lieu d'un 1 (vu que les points 5 et 8 sont alignés).
Avec cette matrice rectifiée, j'obtiens tr(A³)=408 d'où 136 triangles auxquels on enlève les 28 triangles plats, ce qui donne 108 triangles.

Ouf!!!
à+

Voilà ce que c'est que de vouloir aller trop vite .
Merci pour la rectification.
J'avais réfléchi aussi à une autre méthode de comptage.
On sait que pour points (disons ) il y a
    
triangles possibles.
J'avais tenté alors de trouver un moyen de dénombrer le nombre de triangles que l'on perdait si l'on s'amusait à enlever un segment, puis deux, etc.
Hélas ... dès le moment où l'on enlève deux segments, les résultats sont différents suivant que les deux segments en questions ont ou non un sommet commun.
Si quelqu'un(e) a une idée pour résoudre cette manière de compter ...

Dans le même genre :

Combien peut-on compter de carrés dans la grille ci contre ?

Salut lyonnais

Eventuellement, déjà traité (assez proche) sur l'

logique

Philoux

et tu dirais combien donc ?

Je dirais donc :

7x5 + 6x4 + 5x3 + 4x2 + 3x1

Que je te laisse calculer

Philoux

  philoux

encore une fois, bravo !

@+ sur l'

Alors lyonnais, généralisons...

m^me question pour un rectangle composé de (n carrés) x (p carrés)

Existe-t-il une relation = f(n,p) donnant le nombre total de carrés dans ce rectangle n x p?

Philoux

d'après ce que tu vient de fare je pense que oui :

Le nombre de carrées serait de :

nxp + (n-1)x(p-1) + (n-2)x(p-2) + (n-3)x(p-3) + (n-4)x(p-4) + ... + (n-p+1)x1

c'est ça ?

Ok mais celà peut-il s'écrire sous une forme qui ne soit pas une série ?
(une somme de termes)


Philoux

je suis désolé philoux mais je dois y aller ... je réfléchirais à cela plus tard !  

merci pour la question  

je trouve :



@+

Salut !

Pour , on a:
    
en développant :
    
i.e.
    
d'où
    
et en réarrangeant le tout :
    

On peut vérifier que , comme "presque calculé" avant .

On est donc d'accord .

Bien vu

Comme quoi, il est presque nécessaire de connaître "par coeur"

Somme( k², 1àn )= n(n+1)(2n+1)/6 au même titre que
Somme( k, 1àn )= n(n+1)/2

à moins de les redémontrer rapidement

Philoux

Pour la somme des premiers entiers, un petit coup de la méthode de Gauss étant enfant, par contre pour la première, autant s'en souvenir

>NN

En utilisant la différence des cubes, ça va assez vite

Philoux

>NN

(x+1)³=x³+3x²+3x+1
donc :
(x+1)³-x³ = 3x²+3x+1

ainsi :
2^3-1^3 =    3.1²+3.1+1
3^3-2^3 =    3.2²+3.2+1
....
(n+1)^3-n^3= 3.n²+3.n+1

en sommant
(n+1)^3-1^3=3(S) + 3n(n+1)/2 + (n)

multiplions par 2 pour éliminer le /2, et développons (n+1)^3

2(n³+3n²+3n+1)-3n(n+1)-2n = 6S

6S=2n³+3n²+n

6S=n(2n²+3n+1)=n(2n+1)(n+1)

S=n(n+1)(2n+1)/6

En connaissant bien Pascal, on peut déduire toutes les puissances n^p

Philoux

Philoux : je connais cette technique/astuce, mais la formule pour le cas je préfère le connaître par coeur , parce que le temps de la retrouver, je vais faire quelques erreurs
pour les autres cas simples ( et , on les retrouve vite)

Pour les cas et j'entendais

>NN

Cependant, la mémoire est faillible...

Me souvenir de Somme( k³, 1àn ) = n²(n+1)²/4 est pas trop dur à retenir car c'est le carré de n(n+1)/2

En revanche, pour k⁴, j'abdique !

Philoux

Je n'ai jamais dit que pour le cas je l'apprends par coeur (ça va pas non ! il y a des limites tout de même )

Je veux juste vous confirmer les reponses

le premier : 23 triangles (certain)
le deuxieme: 40 (etrange vous en trouvez 108?) et je crois pouvoir dire que je ne me suis pas trompé(je les ai comptés recontés et mon programme me donne la meme reponse donc soit je me fourvois completement soit c'est votre matrice :a verifier absolument!)
la grille:  420 quadrilateres (pour les carrés je sais pas )

Et pour trouver toutes ces reponses j'ai utilisé ce petit programme que j'ai ecrit en 2004:
c'et un compteur de triangles et de quadrilateres ou il suffit de dessiner la figure et lancer le calcul

Alors quelqu'un peut confirmer la reponse numero 2